9. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника ABC, делит ее пополам. Найдите AB : AC. 10. (Дополнительная задача.) Определите, сколько решений имеет следующая задача. Решать задачу не надо. Периметр равнобедренного треугольника равен 19 см. Одна из его сторон равна 3 см. Найдите длины двух других сторон.

Рассмотрим треугольник АВМ. Прямая AD является высотой и медианой. Следовательно, треугольник АВМ – равнобедренный, и АВ = АМ.

Так как АМ – половина АС (ВМ - медиана), то АС = 2 × АМ.

Тогда АВ : АС = АМ : (2 × АМ) = 1 : 2.

Ответ: 1 : 2

Пусть a, b, c – стороны равнобедренного треугольника, где a = b.

Периметр P = a + b + c = 2a + c = 19 см.

Рассмотрим два случая:

1) Если a = b = 3 см, тогда P = 3 + 3 + c = 19 см.

c = 19 - 6 = 13 см.

Проверим неравенство треугольника: a + b > c, 3 + 3 > 13 – неверно. Следовательно, такого треугольника не существует.

2) Если c = 3 см, тогда P = a + b + 3 = 19 см.

a + b = 16 см, значит, 2a = 16 см (т.к. a = b).

a = 8 см, b = 8 см.

Проверим неравенство треугольника: 8 + 8 > 3 (верно), 8 + 3 > 8 (верно).

Следовательно, длины двух других сторон равны 8 см и 8 см.

Ответ: 8 см, 8 см.