Прямая, параллельная стороне АС, треугольника АВС пересекает стороны АВ и ВС в точках М и К соответственно. Используя чертежи, найдите: 1) к - коэффициент подобия; 2) \( \frac{P_{MBK}}{P_{ABC}} \); 3) \( \frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} \). Сопоставьте условие задачи с его ответом. Найдите \( \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} \).

Для решения данной задачи необходимо определить коэффициент подобия и отношения периметров и площадей подобных треугольников.

1) Коэффициент подобия (k)

По условию, прямая MK параллельна стороне AC треугольника ABC. Следовательно, треугольники MBK и ABC подобны (по двум углам). Из рисунка видно, что сторона MB состоит из одного отрезка, а сторона AB состоит из трех отрезков. Значит, коэффициент подобия k равен отношению MB к AB:

$$k = \frac{MB}{AB} = \frac{1}{3}$$

2) Отношение периметров \( \frac{P_{MBK}}{P_{ABC}} \)

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

$$\frac{P_{MBK}}{P_{ABC}} = k = \frac{1}{3}$$

3) Отношение площадей \( \frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} \)

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$$

Ответ:

1. Коэффициент подобия: \( k = \frac{1}{3} \)
2. Отношение периметров: \( \frac{P_{MBK}}{P_{ABC}} = \frac{1}{3} \)
3. Отношение площадей: \( \frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = \frac{1}{9} \)