5. Прямая $$y = 3x + 1$$ является касательной к графику функции $$f(x) = \frac{1}{8}x^2 + 2x + c$$. Найдите $$c$$.

Для решения этой задачи нужно найти значение $$c$$, при котором прямая $$y = 3x + 1$$ является касательной к графику функции $$f(x) = \frac{1}{8}x^2 + 2x + c$$. 1. Найдём производную функции $$f(x)$$: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{8}x^2 + 2x + c) = \frac{1}{4}x + 2$$ 2. Условие касания: угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Угловой коэффициент прямой $$y = 3x + 1$$ равен 3. Следовательно: $$\frac{1}{4}x + 2 = 3$$ $$\frac{1}{4}x = 1$$ $$x = 4$$ 3. Найдём значение функции $$f(x)$$ в точке $$x = 4$$: $$f(4) = \frac{1}{8}(4)^2 + 2(4) + c = \frac{1}{8}(16) + 8 + c = 2 + 8 + c = 10 + c$$ 4. Найдём значение $$y$$ на касательной в точке $$x = 4$$: $$y = 3(4) + 1 = 12 + 1 = 13$$ 5. В точке касания значения функции и касательной должны быть равны: $$10 + c = 13$$ $$c = 13 - 10$$ $$c = 3$$ Ответ: 3