Прямоугольник, изображённый на рисунке, разделен на 3 области: P, Q и R. Отношение площадей областей Q и P составляет 3:4, отношение площадей R и P - 1:2. Площадь Q на 34 см² больше площади R. Найдите площадь данного прямоугольника.

Обозначим площадь области P как $$x$$. Тогда, согласно условию:

1. Площадь области Q составляет $$\frac{3}{4}x$$.
2. Площадь области R составляет $$\frac{1}{2}x$$.
3. Площадь Q на 34 см² больше площади R, то есть $$\frac{3}{4}x = \frac{1}{2}x + 34$$.

Решим уравнение для $$x$$:

$$\frac{3}{4}x - \frac{1}{2}x = 34$$$$\frac{3}{4}x - \frac{2}{4}x = 34$$$$\frac{1}{4}x = 34$$$$x = 34 \cdot 4$$$$x = 136$$

Итак, площадь области P равна 136 см².

Теперь найдем площади областей Q и R:

1. Площадь области Q: $$\frac{3}{4} \cdot 136 = 3 \cdot 34 = 102 \text{ см}^2$$
2. Площадь области R: $$\frac{1}{2} \cdot 136 = 68 \text{ см}^2$$

Площадь всего прямоугольника равна сумме площадей областей P, Q и R:

$$S = P + Q + R = 136 + 102 + 68 = 306 \text{ см}^2$$

Ответ: Площадь данного прямоугольника равна 306 см².