1. Прямые а и b лежат в параллельных плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\). Могут ли эти прямые быть: a) параллельными; б) скрещивающимися? Сделайте рисунок для каждого возможного случая. 2. Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\), проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) в точках A1 и A2 соответственно, прямая m - в точках B1 и B2. Найдите длину отрезка A2B2, если A1B1 = 12 см, B1O : OB2 = 3 : 4. 3. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M, N и K, являющиеся серединами ребер AB, BC и DD1.

1. Прямые \(a\) и \(b\), лежащие в параллельных плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\), могут быть: a) Параллельными: Прямые \(a\) и \(b\) параллельны друг другу и лежат в параллельных плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\). б) Скрещивающимися: Прямые \(a\) и \(b\) не пересекаются и не лежат в одной плоскости, но при этом лежат в параллельных плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\). 2. Дано: \(A_1B_1 = 12\ \text{см}\), \(\frac{B_1O}{OB_2} = \frac{3}{4}\). Найти: \(A_2B_2\). Решение: \(\angle A_1OB_1 = \angle A_2OB_2\) как вертикальные. \(\angle OA_1A_2 = \angle OB_1B_2\) как накрест лежащие при параллельных плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\) и секущих \(A_1A_2\) и \(B_1B_2\) соответственно. Следовательно, \(\triangle A_1OB_1 \sim \triangle A_2OB_2\) (по двум углам). Из подобия следует: \(\frac{A_2B_2}{A_1B_1} = \frac{OB_2}{OB_1} = \frac{4}{3}\). (A_2B_2 = A_1B_1 \cdot \frac{4}{3} = 12 \cdot \frac{4}{3} = 16 \ \text{см}\). Ответ: \(A_2B_2 = 16 \ \text{см}\). 3. Построение сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки M, N и K: 1. Отметим точки M, N и K как середины ребер AB, BC и DD1 соответственно. 2. Проведем прямую MN в плоскости ABC. 3. Продолжим MN до пересечения с прямыми AD и CD в точках P и Q соответственно. 4. Проведем прямую PK в плоскости ADD1. 5. Продолжим PK до пересечения с ребром AA1 в точке R. 6. Проведем прямую QR в плоскости AA1D1D. 7. Проведем прямую QR до пересечения с ребром A1D1 в точке S. 8. Проведем прямую NS в плоскости BB1C1C. 9. Соединим точки M и R, N и S, K и S. Сечением параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью MNK является шестиугольник MRNKSQ.