617. Разложите на множители квадратный трехчлен: a) 3x² - 24x + 21; б) 5z² + 10z – 15; в) 1/6x² + 1/2x + 1/3; г) х² - 12х + 20; д) -у² + 16y - 15; e) -t² - 8t + 9; 618. Разложите на множители квадратный трёхчлен: a) 2x² - 2x + 1/2; б) -9x² + 12x - 4; в) 16а² + 24а + 9; г) 0,25m² - 2m + 4. 619. Разложите на множители квадратный трёхчлен: a) 2x² + 12x - 14; б) -m² + 5m - 6; в) 3x² + 5x - 2; г) 6х² - 13x + 6. 620. Докажите тождество: a) 10x² + 19x - 2 = 10(x - 0,1)(x + 2); б) 0,5(x - 6)(x - 5) = 0,5x² - 5,5x + 15.

Решение: 617. Разложите на множители квадратный трехчлен: а) $$3x^2 - 24x + 21$$ Вынесем общий множитель 3 за скобки: $$3(x^2 - 8x + 7)$$. Найдем корни квадратного трехчлена $$x^2 - 8x + 7$$ через дискриминант: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$$ $$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 6}{2} = 1$$ Разложение на множители: $$a(x - x_1)(x - x_2)$$. $$3(x - 7)(x - 1)$$. б) $$5z^2 + 10z - 15$$ Вынесем общий множитель 5 за скобки: $$5(z^2 + 2z - 3)$$. Найдем корни квадратного трехчлена $$z^2 + 2z - 3$$ через дискриминант: $$D = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$z_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$ $$z_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$ Разложение на множители: $$a(x - x_1)(x - x_2)$$. $$5(z - 1)(z + 3)$$. в) $$\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}$$ Вынесем общий множитель $$\frac{1}{6}$$ за скобки: $$\frac{1}{6}(x^2 + 3x + 2)$$. Найдем корни квадратного трехчлена $$x^2 + 3x + 2$$ через дискриминант: $$D = (3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = -2$$ Разложение на множители: $$a(x - x_1)(x - x_2)$$. $$\frac{1}{6}(x + 1)(x + 2)$$. г) $$x^2 - 12x + 20$$ Найдем корни квадратного трехчлена $$x^2 - 12x + 20$$ через дискриминант: $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64$$ $$x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 8}{2} = 10$$ $$x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 8}{2} = 2$$ Разложение на множители: $$a(x - x_1)(x - x_2)$$. $$(x - 10)(x - 2)$$. д) $$-y^2 + 16y - 15$$ Вынесем общий множитель -1 за скобки: $$-(y^2 - 16y + 15)$$. Найдем корни квадратного трехчлена $$y^2 - 16y + 15$$ через дискриминант: $$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196$$ $$y_1 = \frac{-(-16) + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 14}{2} = 15$$ $$y_2 = \frac{-(-16) - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 14}{2} = 1$$ Разложение на множители: $$a(x - x_1)(x - x_2)$$. $$-(y - 15)(y - 1)$$. e) $$-t^2 - 8t + 9$$ Вынесем общий множитель -1 за скобки: $$-(t^2 + 8t - 9)$$. Найдем корни квадратного трехчлена $$t^2 + 8t - 9$$ через дискриминант: $$D = (8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$$ $$t_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 10}{2} = 1$$ $$t_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 10}{2} = -9$$ Разложение на множители: $$a(x - x_1)(x - x_2)$$. $$-(t - 1)(t + 9)$$. 618. Разложите на множители квадратный трёхчлен: a) $$2x^2 - 2x + \frac{1}{2}$$ Вынесем общий множитель 2 за скобки: $$2(x^2 - x + \frac{1}{4})$$. Найдем корни квадратного трехчлена $$x^2 - x + \frac{1}{4}$$ через дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = 1 - 1 = 0$$ $$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$$ Квадратный трехчлен имеет вид $$a(x - x_1)^2$$. $$2(x - \frac{1}{2})^2$$. б) $$-9x^2 + 12x - 4$$ Вынесем общий множитель -1 за скобки: $$-(9x^2 - 12x + 4)$$. Найдем корни квадратного трехчлена $$9x^2 - 12x + 4$$ через дискриминант: $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0$$ $$x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{0}}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$ Квадратный трехчлен имеет вид $$a(x - x_1)^2$$. $$-(3x - 2)^2$$. в) $$16a^2 + 24a + 9$$ Найдем корни квадратного трехчлена $$16a^2 + 24a + 9$$ через дискриминант: $$D = (24)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 576 - 576 = 0$$ $$a_1 = \frac{-24 + \sqrt{0}}{2 \cdot 16} = \frac{-24}{32} = -\frac{3}{4}$$ Квадратный трехчлен имеет вид $$a(x - x_1)^2$$. $$(4a + 3)^2$$. г) $$0,25m^2 - 2m + 4$$ Умножим на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби: $$\frac{1}{4}(m^2 - 8m + 16)$$. Найдем корни квадратного трехчлена $$m^2 - 8m + 16$$ через дискриминант: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0$$ $$m_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$$ Квадратный трехчлен имеет вид $$a(x - x_1)^2$$. $$\frac{1}{4}(m - 4)^2$$. 619. Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) $$2x^2 + 12x - 14$$ Вынесем общий множитель 2 за скобки: $$2(x^2 + 6x - 7)$$. Найдем корни квадратного трехчлена $$x^2 + 6x - 7$$ через дискриминант: $$D = (6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$ $$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = -7$$ Разложение на множители: $$a(x - x_1)(x - x_2)$$. $$2(x - 1)(x + 7)$$. б) $$-m^2 + 5m - 6$$ Вынесем общий множитель -1 за скобки: $$-(m^2 - 5m + 6)$$. Найдем корни квадратного трехчлена $$m^2 - 5m + 6$$ через дискриминант: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$ $$m_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$ $$m_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$$ Разложение на множители: $$a(x - x_1)(x - x_2)$$. $$-(m - 3)(m - 2)$$. в) $$3x^2 + 5x - 2$$ Найдем корни квадратного трехчлена $$3x^2 + 5x - 2$$ через дискриминант: $$D = (5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$ $$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = -2$$ Разложение на множители: $$a(x - x_1)(x - x_2)$$. $$3(x - \frac{1}{3})(x + 2)$$. г) $$6x^2 - 13x + 6$$ Найдем корни квадратного трехчлена $$6x^2 - 13x + 6$$ через дискриминант: $$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$$ $$x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{3}{2}$$ $$x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{2}{3}$$ Разложение на множители: $$a(x - x_1)(x - x_2)$$. $$6(x - \frac{3}{2})(x - \frac{2}{3})$$. 620. Докажите тождество: a) $$10x^2 + 19x - 2 = 10(x - 0,1)(x + 2)$$ Раскроем скобки в правой части: $$10(x - 0,1)(x + 2) = 10(x^2 + 2x - 0,1x - 0,2) = 10(x^2 + 1,9x - 0,2) = 10x^2 + 19x - 2$$. Тождество доказано. б) $$0,5(x - 6)(x - 5) = 0,5x^2 - 5,5x + 15$$. Раскроем скобки в левой части: $$0,5(x - 6)(x - 5) = 0,5(x^2 - 5x - 6x + 30) = 0,5(x^2 - 11x + 30) = 0,5x^2 - 5,5x + 15$$. Тождество доказано.