1. Разрежьте прямоугольник 3 х 10 на одинадцать не обязательно одинаковых квадратов. 2. На самом длинном в России эскалаторе 723 ступеньки. Эскалатор опускается на одну ступеньку за 2 секунды. В момент времени Миша стоит на ступеньке эскалатора, равноудалённой от обоих концов, лицом по направлению движения. Миша движется по определённому правилу: шаг вперёд, два назад, затем снова шаг вперёд, два назад и т.д., делая шаг каждую секунду, один шаг всегда на одну ступеньку. С какого конца эксалатора Миша в итоге выйдет и через сколько секунд это произойдёт? Считается, что экскалатор содержит 723 ступеньки и ссли перед Мишей 0 ступенек, то он выпрыгнул с эскалатора, но если какая-то часть ступеньки ещё есть, то он продолжает действовать по правилу. 3. На острове живут три народа: эльфы, которые всегда говорят правду, тролли, которые всегла лгут и гномы, которые могут лгать, только если их соседом является тролль (но могут сказать и правду). В крут встали 30 представителей всех трёх народов. Каждый сказал: «Среди моих соседей есть представитель моего народа». Известно, что ровно 14 из них являются троллями. Сколько эльфов может быть? (Приведите все варианты и докажите, что других нет.) 4. Сколько существует четырёхзначных чисел, обладающих следующими свойствами: сумма цифр числа делится на 9 и ровно одна цифра является нулём? Например, такими свойствами обладает нынешний год 2025. (Напомним, что число начинаться с нуля не может!) 5. Король и Шут играют в следущую игру. У них есть клетчатая доска размером 8 х 8. Они ходят по очереди, Король своим ходом размещает на доске квадрат 1 × 1 по линиям сетки, а Шут – половинку такого квадрата (то есть треугольник который получается при его разрезании по диагонали). При этом фигуры нужно располагать по правилам морского боя: они не должны соприкасаться даже углами. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очеред-ной ход. Кто выиграет при правильной игре?

1. Разрезание прямоугольника

Для разрезания прямоугольника 3 х 10 на 11 квадратов, можно использовать следующую комбинацию:

1. Три квадрата 3x3
2. Восемь квадратов 1x1

Чтобы это осуществить, разместите три квадрата 3x3 в одном углу прямоугольника. Это покроет квадрат 3x9. Оставшаяся часть прямоугольника будет 3x1, что можно разделить на три квадрата 1x1. Рядом с квадратами 3x3 можно разместить еще 5 квадратов 1x1 вдоль длинной стороны прямоугольника, чтобы заполнить оставшуюся область.

2. Движение Миши на эскалаторе

Миша делает один шаг вперед, два шага назад, и так далее. Один шаг занимает 1 секунду. Эскалатор опускается на одну ступеньку за 2 секунды.

За 3 секунды (шаг вперед и два назад) Миша проходит 1 - 2 = -1 ступеньку относительно земли. То есть, за каждые 3 секунды он опускается на 1 ступеньку.

Эскалатор опускается на одну ступеньку за 2 секунды. Таким образом, за 6 секунд эскалатор опустится на 3 ступеньки.

За 6 секунд Миша пройдет -2 ступеньки (2 цикла по -1 ступеньке), а эскалатор опустится на 3 ступеньки. Итого, за 6 секунд Миша опустится на 5 ступенек относительно начальной точки.

Пусть x - число циклов по 6 секунд. Тогда Миша опустится на 5x ступенек. Если x = 723/5 = 144.6, значит потребуется 144 полных цикла и еще немного времени.

144 цикла займут 144 * 6 = 864 секунды. За это время Миша пройдет 144 * (-1) * 2 = -288 ступенек, а эскалатор опустится на 864/2 = 432 ступеньки. Всего Миша опустится на 432 + (-288) = 144 ступеньки. Останется пройти 723 - 144 = 579 ступенек.

Затем, в 865 секунду Миша сделает шаг вперед на одну ступеньку. Останется пройти 578 ступенек.

В 866 и 867 секунды Миша сделает два шага назад. Останется пройти 580 ступенек.

Таким образом, Миша выйдет с того же конца эскалатора, с которого начал. Время составит 867 секунд.

3. Эльфы, тролли и гномы

Пусть E - количество эльфов, T - количество троллей, G - количество гномов. Всего 30 представителей, значит E + T + G = 30. Известно, что T = 14.

Рассмотрим случай, когда эльф говорит "Среди моих соседей есть представитель моего народа". Это означает, что оба соседа - эльфы. Тогда эльфы стоят группами.

Тролль всегда лжет. Значит, если тролль говорит "Среди моих соседей есть представитель моего народа", это означает, что не все его соседи - тролли.

Пусть N - количество тех, кто сказал правду. Тогда N = E + G. Так как всего представителей 30, а троллей 14, то E + G = 30 - 14 = 16. То есть, правду сказали 16 человек.

Пусть x - число эльфов, которые стоят рядом с троллями. Тогда остальные эльфы (E - x) стоят рядом с эльфами.

Так как троллей 14, то 14 из тех, кто сказал "Среди моих соседей есть представитель моего народа", солгали. Значит x эльфов могли сказать правду (у тролля один сосед эльф, другой - гном). 16 - x гномов могли сказать правду, так как у каждого из них один сосед гном, а другой эльф.

E = x + (E-x). Также, E + G = 16. Получается, что число эльфов может быть любым от 0 до 16. Но надо доказать, что нет других вариантов.

Рассмотрим случай, когда все тролли стоят подряд. Тогда эльфы и гномы стоят по краям троллей. Пусть эльф стоит рядом с троллем. Тогда он сказал правду, так как среди его соседей есть эльф.

Пусть гном стоит рядом с троллем. Тогда он говорит правду. Количество эльфов может варьироваться от 0 до 16. Таким образом, эльфов может быть от 0 до 16.

4. Четырёхзначные числа

Надо найти четырёхзначные числа, сумма цифр которых делится на 9 и ровно одна цифра - нуль.

Сумма цифр должна быть кратна 9: 9, 18, 27, 36. Ровно одна цифра - нуль.

Четырехзначное число не может начинаться с нуля. Поэтому нуль может быть на втором, третьем или четвертом месте.

Если сумма цифр равна 9, то число имеет вид a0bc, где a+b+c=9. a - от 1 до 9. b и c - от 0 до 9. Это можно перебрать вручную.

Варианты:

• 1080, 1008, 1800, 8010, 8001, 1017, 1071, 1710, 7110, 1107, 1170, 1026, 1062, 1206, 2106, 6012, 6102, 1035, 1053, 1305, 3105, 5013, 5103, 1044, 1404, 4014, 4104, 4041, 4401, 1233, 2133, 3123, 3213

Допустим, число 2079. сумма 18.

Всего таких чисел 32.

5. Игра Короля и Шута

Король ставит квадраты 1x1, Шут ставит половинки квадратов (треугольники).

На доске 8x8 всего 64 клетки. Король каждым ходом занимает одну клетку, а Шут - половину квадрата, то есть 0.5 клетки.

Игроки должны размещать фигуры по правилам морского боя: они не должны соприкасаться даже углами.

Так как король занимает одну клетку каждым ходом, то ему проще заполнять доску. Шут же занимает половину клетки, и ему сложнее размещать фигуры так, чтобы они не соприкасались углами. Король выиграет при правильной игре, поскольку он может более эффективно использовать пространство доски и блокировать ходы Шута.