1. Разрежьте прямоугольник 3 х 10 на одиннадцать не обязательно одинаковых квадратов. 2. На самом длинном в России эскалаторе 723 ступеньки. Эскалатор опускается на одну ступеньку за 2 секунды. В момент времени Миша стоит на ступеньке эскалатора, равноудалённой от обоих концов, лицом по направлению движения. Миша движется по определённому правилу: шаг вперёд, два назад, затем снова шаг вперёд, два назад и т.д., делая шаг каждую секунду, один шаг всегда на одну ступеньку. С какого конца эксалатора Миша в итоге выйдет и через сколько секунд это произойдёт? Считается, что экскалатор содержит 723 ступеньки и если перед Мишей 0 ступенек, то он выпрыгнул с эскалатора, но если какая-то часть ступеньки ещё есть, то он продолжает действовать по правилу. 3. На острове живут три народа: эльфы, которые всегда говорят правду, тролли, которые всегла лгут и гномы, которые могут лгать, только если их соседом является тролль (но могут сказать и правду). В крут встали 30 представителей всех трёх народов. Каждый сказал: «Среди моих соседей есть представитель моего народа». Известно, что ровно 14 из них являются троллями. Сколько эльфов может быть? (Приведите все варианты и докажите, то других нет.) 4. Сколько существует четырёхзначных чисел, обладающих следующими свойствами: сумма цифр числа делится на 9 и ровно одна цифра является нулём? Например, такими свойствами обладает нынешний год 2025. (Напомним, что число начинаться с нуля не может!) X • Король и Шут играют в следущую игру. У них есть клетчатая доска мером 8 х 8. Они ходят по очереди, Король своим ходом размещает на доске квадрат 1 х 1 по линиям сетки, а Шут - половинку такого квадрата (треугольник который получается при его разрезании по диагонали). Правила игры: фигуры нужно располагать по правилам морского боя: они не должны соприкасаться даже углами. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?

Решим задачи по порядку: 1. Разрезание прямоугольника: Эта задача требует визуального решения. Можно предложить такое решение: разрезать прямоугольник на 10 квадратов 3x3 и один квадрат 3x3 разрезать на 9 квадратов 1x1. Тогда у нас получится 10 квадратов 3x3 и 9 квадратов 1x1, что в сумме дает 19 квадратов, это не решение задачи. Решение задачи: * Разрезать прямоугольник на три квадрата размером 3x3 и один прямоугольник 3x1. Далее разрезать прямоугольник 3x1 на 8 квадратов размером 1x1. В итоге получится 3 квадрата 3x3 и 8 квадратов 1x1, что в сумме дает 11 квадратов. 2. Эскалатор: Определим, где стоит Миша. Всего ступенек 723. Значит, Миша стоит на ступеньке $$723 div 2 = 361.5$$. Так как ступенька должна быть целым числом, то округляем до 361 или 362 ступеньки. Миша делает шаг вперед, затем два шага назад. И так далее. То есть за три секунды он проходит -1 ступеньку. За 723 секунды он проходит $$723 div 3 = 241$$. То есть за 723 секунды Миша пройдет $$241 cdot (-1) = -241$$. Если считать, что Миша стоит на 361 ступеньке, то он дойдет до конца за $$361 - 241 = 120$$. Если считать, что Миша стоит на 362 ступеньке, то он дойдет до конца за $$362 - 241 = 121$$. Так как эскалатор опускается на одну ступеньку за 2 секунды, то за 723 секунды он опустится на $$723 div 2 = 361.5$$. 3. Островитяне: Пусть: * Э - количество эльфов * Т - количество троллей * Г - количество гномов Всего 30 человек: $$Э + Т + Г = 30$$. Троллей 14: $$Т = 14$$. Тогда: $$Э + Г = 30 - 14 = 16$$. Рассмотрим случаи: * Если эльф стоит между двумя другими, то он говорит правду. * Если гном стоит между двумя другими, то он говорит правду. * Если тролль стоит между двумя другими, то он говорит правду. То есть, если рядом с троллем стоит тролль, то он говорит правду, а если рядом с троллем стоит не тролль, то он лжет. Если все сказали правду, то каждый стоит между представителями своего народа. То есть, если эльф стоит между двумя эльфами, то он говорит правду. Если гном стоит между двумя гномами, то он говорит правду. Если тролль стоит между двумя троллями, то он говорит правду. 14 троллей не могут стоять рядом, так как тогда их будет больше, чем гномов и эльфов. То есть, они чередуются с эльфами и гномами. 4. Четырехзначные числа: Сумма цифр делится на 9, и ровно одна цифра является нулем. Это означает, что сумма остальных трех цифр равна 9 или 18 или 27. 5. Король и Шут: Тот, кто ходит вторым, всегда может повторить ход первого игрока симметрично относительно центра доски. Следовательно, второй игрок всегда выиграет. Таким образом, Шут выиграет при правильной игре.