1. Решить уравнения: A) x² + 6x + 23 = 0 Б) х⁴ + 5x² - 36 = 0 B) (x² + 2x)² - 3(x² + 2x) - 40 = 0 Г) х⁷ + 3x⁶ - 4x⁵ = 0 Д) 2/(x-3) + 1/(x+2) = (x²+4x-1)/(x²-x-6) 2. Решить систему уравнений: {6x - 8y = -12 {18x – 5y = 21

1. Решить уравнения: А) $$x^2 + 6x + 23 = 0$$ * Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 cdot 1 cdot 23 = 36 - 92 = -56$$ * Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. * Ответ: уравнение не имеет действительных корней. Б) $$x^4 + 5x^2 - 36 = 0$$ * Введем замену $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 + 5t - 36 = 0$$ * Решим квадратное уравнение относительно t: $$t^2 + 5t - 36 = 0$$ * Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 cdot 1 cdot (-36) = 25 + 144 = 169$$ * Найдем корни: $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 cdot 1} = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2 cdot 1} = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$ * Вернемся к замене: $$x^2 = t$$ * $$x^2 = 4$$ $$x_1 = 2, x_2 = -2$$ * $$x^2 = -9$$ Уравнение не имеет действительных корней. * Ответ: $$x_1 = 2, x_2 = -2$$ В) $$(x^2 + 2x)^2 - 3(x^2 + 2x) - 40 = 0$$ * Введем замену $$t = x^2 + 2x$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 3t - 40 = 0$$ * Решим квадратное уравнение относительно t: $$t^2 - 3t - 40 = 0$$ * Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 cdot 1 cdot (-40) = 9 + 160 = 169$$ * Найдем корни: $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{169}}{2 cdot 1} = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{169}}{2 cdot 1} = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ * Вернемся к замене: $$x^2 + 2x = t$$ * $$x^2 + 2x = 8$$ $$x^2 + 2x - 8 = 0$$ Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 cdot 1 cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ * $$x^2 + 2x = -5$$ $$x^2 + 2x + 5 = 0$$ Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 cdot 1 cdot 5 = 4 - 20 = -16$$ Уравнение не имеет действительных корней. * Ответ: $$x_1 = 2, x_2 = -4$$ Г) $$x^7 + 3x^6 - 4x^5 = 0$$ * Вынесем общий множитель $$x^5$$ за скобки: $$x^5(x^2 + 3x - 4) = 0$$ * Приравняем каждый множитель к нулю: $$x^5 = 0$$ $$x_1 = 0$$ $$x^2 + 3x - 4 = 0$$ Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 cdot 1 cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_3 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ * Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -4$$ Д) $$\frac{2}{x-3} + \frac{1}{x+2} = \frac{x^2+4x-1}{x^2-x-6}$$ * Разложим знаменатель правой части на множители: $$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$$ * Приведем левую часть к общему знаменателю: $$\frac{2(x+2) + 1(x-3)}{(x-3)(x+2)} = \frac{x^2+4x-1}{(x-3)(x+2)}$$ * Упростим числитель левой части: $$\frac{2x+4 + x-3}{(x-3)(x+2)} = \frac{3x+1}{(x-3)(x+2)}$$ * Теперь уравнение выглядит так: $$\frac{3x+1}{(x-3)(x+2)} = \frac{x^2+4x-1}{(x-3)(x+2)}$$ * Умножим обе части уравнения на $$(x-3)(x+2)$$, при условии, что $$x eq 3$$ и $$x eq -2$$: $$3x + 1 = x^2 + 4x - 1$$ * Перенесем все члены в правую часть уравнения: $$0 = x^2 + x - 2$$ * Решим квадратное уравнение: $$x^2 + x - 2 = 0$$ * Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 cdot 1 cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$ * Найдем корни: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ * Проверим корни на соответствие условиям $$x eq 3$$ и $$x eq -2$$. Корень $$x_2 = -2$$ не удовлетворяет условию. * Ответ: $$x = 1$$ 2. Решить систему уравнений: $$\begin{cases} 6x - 8y = -12 \\ 18x - 5y = 21 \end{cases}$$ * Умножим первое уравнение на 3: $$\begin{cases} 18x - 24y = -36 \\ 18x - 5y = 21 \end{cases}$$ * Вычтем из второго уравнения первое: $$(18x - 5y) - (18x - 24y) = 21 - (-36)$$ $$19y = 57$$ * Найдем y: $$y = \frac{57}{19} = 3$$ * Подставим значение y в первое уравнение: $$6x - 8(3) = -12$$ $$6x - 24 = -12$$ $$6x = 12$$ * Найдем x: $$x = \frac{12}{6} = 2$$ * Ответ: $$x = 2, y = 3$$