Решите системы уравнений: a) $$\begin{cases} x^2 - 2y = 3, \ x^2y = 27; \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} x^2 + y = 10, \ x^4 + x^2y = 90; \end{cases}$$ в) $$\begin{cases} x + y^2 = 2, \ 2y^2 + x^2 = 3; \end{cases}$$ г) $$\begin{cases} x^2 + y^4 = 5, \ xy^2 = 2. \end{cases}$$

a) $$\begin{cases} x^2 - 2y = 3, \ x^2y = 27; \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $$x^2$$: $$x^2 = 3 + 2y.$$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$(3 + 2y)y = 27.$$ Раскроем скобки и получим квадратное уравнение относительно $$y$$: $$2y^2 + 3y - 27 = 0.$$ Решим это квадратное уравнение. Дискриминант равен: $$D = 3^2 - 4 cdot 2 cdot (-27) = 9 + 216 = 225.$$ Тогда корни будут: $$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2 cdot 2} = \frac{-3 + 15}{4} = \frac{12}{4} = 3,$$ $$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{225}}{2 cdot 2} = \frac{-3 - 15}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2}.$$ Теперь найдем значения $$x^2$$ для каждого значения $$y$$: Если $$y = 3$$, то $$x^2 = 3 + 2(3) = 3 + 6 = 9,$$ тогда $$x = \pm \sqrt{9} = \pm 3.$$ Если $$y = -\frac{9}{2}$$, то $$x^2 = 3 + 2(-\frac{9}{2}) = 3 - 9 = -6.$$ Так как $$x^2$$ не может быть отрицательным, это значение $$y$$ не подходит. Итак, решение системы уравнений: $$(x, y) = (3, 3), (-3, 3).$$ б) $$\begin{cases} x^2 + y = 10, \ x^4 + x^2y = 90; \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $$y$$: $$y = 10 - x^2.$$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$x^4 + x^2(10 - x^2) = 90.$$ Раскроем скобки: $$x^4 + 10x^2 - x^4 = 90.$$ $$10x^2 = 90.$$ $$x^2 = 9.$$ Отсюда $$x = \pm \sqrt{9} = \pm 3.$$ Теперь найдем значения $$y$$ для каждого значения $$x$$: Если $$x = 3$$, то $$y = 10 - (3)^2 = 10 - 9 = 1.$$ Если $$x = -3$$, то $$y = 10 - (-3)^2 = 10 - 9 = 1.$$ Итак, решение системы уравнений: $$(x, y) = (3, 1), (-3, 1).$$ в) $$\begin{cases} x + y^2 = 2, \ 2y^2 + x^2 = 3; \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $$x$$: $$x = 2 - y^2.$$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$2y^2 + (2 - y^2)^2 = 3.$$ Раскроем скобки: $$2y^2 + (4 - 4y^2 + y^4) = 3.$$ $$y^4 - 2y^2 + 4 = 3.$$ $$y^4 - 2y^2 + 1 = 0.$$ Обозначим $$t = y^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 2t + 1 = 0.$$ $$(t - 1)^2 = 0.$$ Значит, $$t = 1$$, и тогда $$y^2 = 1.$$ Следовательно, $$y = \pm \sqrt{1} = \pm 1.$$ Теперь найдем значения $$x$$ для каждого значения $$y$$: Если $$y = 1$$, то $$x = 2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1.$$ Если $$y = -1$$, то $$x = 2 - (-1)^2 = 2 - 1 = 1.$$ Итак, решение системы уравнений: $$(x, y) = (1, 1), (1, -1).$$ г) $$\begin{cases} x^2 + y^4 = 5, \ xy^2 = 2. \end{cases}$$ Выразим $$x$$ из второго уравнения: $$x = \frac{2}{y^2}.$$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$(\frac{2}{y^2})^2 + y^4 = 5.$$ $$rac{4}{y^4} + y^4 = 5.$$ Умножим обе части уравнения на $$y^4$$: $$4 + y^8 = 5y^4.$$ $$y^8 - 5y^4 + 4 = 0.$$ Обозначим $$t = y^4$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 5t + 4 = 0.$$ Решим это квадратное уравнение. Дискриминант равен: $$D = (-5)^2 - 4 cdot 1 cdot 4 = 25 - 16 = 9.$$ Тогда корни будут: $$t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4,$$ $$t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1.$$ Теперь найдем значения $$y^4$$ и $$y$$: Если $$y^4 = 4$$, то $$y = \pm \sqrt[4]{4} = \pm \sqrt{2}.$$ Если $$y^4 = 1$$, то $$y = \pm \sqrt[4]{1} = \pm 1.$$ Теперь найдем значения $$x$$ для каждого значения $$y$$: Если $$y = \sqrt{2}$$, то $$x = \frac{2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{2}{2} = 1.$$ Если $$y = -\sqrt{2}$$, то $$x = \frac{2}{(-\sqrt{2})^2} = \frac{2}{2} = 1.$$ Если $$y = 1$$, то $$x = \frac{2}{(1)^2} = \frac{2}{1} = 2.$$ Если $$y = -1$$, то $$x = \frac{2}{(-1)^2} = \frac{2}{1} = 2.$$ Итак, решение системы уравнений: $$(x, y) = (1, \sqrt{2}), (1, -\sqrt{2}), (2, 1), (2, -1).$$