Решите системы уравнений: a) $$\begin{cases} xy(x + y) = 6, \ xy+ (x + y) = 5; \ \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} 5(x + y) + 4xy = 32, \ xy(x + y) = 12; \ \end{cases}$$ в) $$\begin{cases} 2(x + y)^2 + 3(x + 2y) = 5, \ 3(x+2y) -2x-2y = 5. \ \end{cases}$$

Решим системы уравнений: а) $$\begin{cases} xy(x + y) = 6, \ xy+ (x + y) = 5. \ \end{cases}$$ Пусть $$xy = a$$, $$x+y = b$$. Тогда система примет вид: $$\begin{cases} ab = 6, \ a+b = 5. \ \end{cases}$$ Выразим $$b$$ из второго уравнения: $$b = 5 - a$$. Подставим в первое уравнение: $$a(5 - a) = 6$$ $$5a - a^2 = 6$$ $$a^2 - 5a + 6 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$ $$a_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$ $$a_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$$ Тогда: Если $$a = 3$$, то $$b = 5 - 3 = 2$$ Если $$a = 2$$, то $$b = 5 - 2 = 3$$ Рассмотрим первый случай: $$\begin{cases} xy = 3, \ x+y = 2. \ \end{cases}$$ Выразим $$y$$ из второго уравнения: $$y = 2 - x$$. Подставим в первое уравнение: $$x(2 - x) = 3$$ $$2x - x^2 = 3$$ $$x^2 - 2x + 3 = 0$$ $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$$ Корней нет. Рассмотрим второй случай: $$\begin{cases} xy = 2, \ x+y = 3. \ \end{cases}$$ Выразим $$y$$ из второго уравнения: $$y = 3 - x$$. Подставим в первое уравнение: $$x(3 - x) = 2$$ $$3x - x^2 = 2$$ $$x^2 - 3x + 2 = 0$$ $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ $$x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1$$ Тогда: Если $$x = 2$$, то $$y = 3 - 2 = 1$$ Если $$x = 1$$, то $$y = 3 - 1 = 2$$ Ответ: $$(2; 1)$$, $$(1; 2)$$ б) $$\begin{cases} 5(x + y) + 4xy = 32, \ xy(x + y) = 12. \ \end{cases}$$ Пусть $$x+y = a$$, $$xy = b$$. Тогда система примет вид: $$\begin{cases} 5a + 4b = 32, \ ab = 12. \ \end{cases}$$ Выразим $$b$$ из второго уравнения: $$b = \frac{12}{a}$$. Подставим в первое уравнение: $$5a + 4 \cdot \frac{12}{a} = 32$$ $$5a + \frac{48}{a} = 32$$ $$5a^2 + 48 = 32a$$ $$5a^2 - 32a + 48 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-32)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 48 = 1024 - 960 = 64$$ $$a_1 = \frac{32 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{32 + 8}{10} = \frac{40}{10} = 4$$ $$a_2 = \frac{32 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{32 - 8}{10} = \frac{24}{10} = 2.4$$ Тогда: Если $$a = 4$$, то $$b = \frac{12}{4} = 3$$ Если $$a = 2.4$$, то $$b = \frac{12}{2.4} = 5$$ Рассмотрим первый случай: $$\begin{cases} x+y = 4, \ xy = 3. \ \end{cases}$$ Выразим $$y$$ из первого уравнения: $$y = 4 - x$$. Подставим во второе уравнение: $$x(4 - x) = 3$$ $$4x - x^2 = 3$$ $$x^2 - 4x + 3 = 0$$ $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$ $$x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$$ Тогда: Если $$x = 3$$, то $$y = 4 - 3 = 1$$ Если $$x = 1$$, то $$y = 4 - 1 = 3$$ Рассмотрим второй случай: $$\begin{cases} x+y = 2.4, \ xy = 5. \ \end{cases}$$ Выразим $$y$$ из первого уравнения: $$y = 2.4 - x$$. Подставим во второе уравнение: $$x(2.4 - x) = 5$$ $$2.4x - x^2 = 5$$ $$x^2 - 2.4x + 5 = 0$$ $$D = (-2.4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 5.76 - 20 = -14.24 < 0$$ Корней нет. Ответ: $$(3; 1)$$, $$(1; 3)$$ в) $$\begin{cases} 2(x + y)^2 + 3(x + 2y) = 5, \ 3(x+2y) -2x-2y = 5. \ \end{cases}$$ Пусть $$x+y = a$$, $$x+2y = b$$. Тогда система примет вид: $$\begin{cases} 2a^2 + 3b = 5, \ 3b - 2x - 2y = 5. \ \end{cases}$$ Выразим $$b$$ из первого уравнения: $$b = \frac{5 - 2a^2}{3}$$. Подставим во второе уравнение: $$3 \cdot \frac{5 - 2a^2}{3} - 2x - 2y = 5$$ $$5 - 2a^2 - 2(x+y) = 5$$ $$5 - 2a^2 - 2a = 5$$ $$-2a^2 - 2a = 0$$ $$2a^2 + 2a = 0$$ $$2a(a + 1) = 0$$ $$a = 0$$ или $$a = -1$$ Тогда: Если $$a = 0$$, то $$b = \frac{5 - 2 \cdot 0^2}{3} = \frac{5}{3}$$ Если $$a = -1$$, то $$b = \frac{5 - 2 \cdot (-1)^2}{3} = \frac{5 - 2}{3} = 1$$ Рассмотрим первый случай: $$\begin{cases} x+y = 0, \ x+2y = \frac{5}{3}. \ \end{cases}$$ Выразим $$x$$ из первого уравнения: $$x = -y$$. Подставим во второе уравнение: $$-y + 2y = \frac{5}{3}$$ $$y = \frac{5}{3}$$ Тогда $$x = -\frac{5}{3}$$ Рассмотрим второй случай: $$\begin{cases} x+y = -1, \ x+2y = 1. \ \end{cases}$$ Выразим $$x$$ из первого уравнения: $$x = -1 - y$$. Подставим во второе уравнение: $$-1 - y + 2y = 1$$ $$y = 2$$ Тогда $$x = -1 - 2 = -3$$ Ответ: $$(-\frac{5}{3}; \frac{5}{3})$$, $$(-3; 2)$$