Решите уравнение $$(2\sin^2 x - (\sqrt{3} + 2) \sin x + \sqrt{3}) \log_{\frac{2}{7}} (\sqrt{2} \cos x) = 0$$. Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi; 3\pi]$$.

Для решения уравнения $$(2\sin^2 x - (\sqrt{3} + 2) \sin x + \sqrt{3}) \log_{\frac{2}{7}} (\sqrt{2} \cos x) = 0$$ рассмотрим два случая. 1. Первый случай: $$2\sin^2 x - (\sqrt{3} + 2) \sin x + \sqrt{3} = 0$$ Пусть $$t = \sin x$$, тогда уравнение примет вид: $$2t^2 - (\sqrt{3} + 2)t + \sqrt{3} = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (\sqrt{3} + 2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 3 + 4\sqrt{3} + 4 - 8\sqrt{3} = 7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2$$ Тогда корни: $$t_1 = \frac{\sqrt{3} + 2 + 2 - \sqrt{3}}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ $$t_2 = \frac{\sqrt{3} + 2 - 2 + \sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ а) Первый корень: $$\sin x = 1$$, тогда $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$$, $$k \in \mathbb{Z}$$. На отрезке $$[\pi; 3\pi]$$ нет корней, так как ближайшие корни это $$x = \frac{5\pi}{2}$$, которая входит в промежуток, и $$x = \frac{\pi}{2}$$, которая не входит в промежуток. б) Второй корень: $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, тогда $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$ или $$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$$, где $$n, m \in \mathbb{Z}$$. На отрезке $$[\pi; 3\pi]$$: $$x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$ $$x_2 = \frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$$ 2. Второй случай: $$\log_{\frac{2}{7}} (\sqrt{2} \cos x) = 0$$ $$\sqrt{2} \cos x = 1$$ $$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Тогда $$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi l$$, где $$l \in \mathbb{Z}$$. На отрезке $$[\pi; 3\pi]$$: $$x_3 = - \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$$ $$x_4 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$$ $$x_5 = - \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}$$ $$x_6 = \frac{\pi}{4} + 4\pi > 3\pi$$ 3. Проверка ОДЗ ОДЗ: $$\sqrt{2} \cos x > 0$$, т.е. $$\cos x > 0$$. $$\frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$$, $$\cos \frac{7\pi}{3} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} > 0$$. $$\frac{8\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3}$$, $$\cos \frac{8\pi}{3} = \cos \frac{2\pi}{3} = - \frac{1}{2} < 0$$. Значит, $$\frac{8\pi}{3}$$ не является решением. $$\frac{7\pi}{4}$$ лежит в 4-й четверти, косинус положительный. $$\frac{9\pi}{4}$$ лежит в 1-й четверти, косинус положительный. $$\frac{15\pi}{4}$$ лежит в 4-й четверти, косинус положительный. Таким образом, корни уравнения на заданном промежутке: $$\frac{7\pi}{3}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}$$. Ответ: $$\frac{7\pi}{3}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}$$