Решите уравнение: $$\sqrt{3x+1}=x-1$$

Решим уравнение $$\sqrt{3x+1}=x-1$$.

1. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{3x+1})^2 = (x-1)^2$$ $$3x+1 = x^2 - 2x + 1$$
2. Перенесем все члены в правую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение: $$x^2 - 2x + 1 - 3x - 1 = 0$$ $$x^2 - 5x = 0$$
3. Вынесем x за скобки: $$x(x - 5) = 0$$
4. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два возможных решения: $$x = 0 \quad \text{или} \quad x - 5 = 0$$ $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 5$$
5. Проверим полученные корни, подставив их в исходное уравнение: \textbf{Проверка для x = 0:} $$\sqrt{3(0) + 1} = 0 - 1$$ $$\sqrt{1} = -1$$ $$1 = -1$$ Это неверно, значит, x = 0 не является решением. \textbf{Проверка для x = 5:} $$\sqrt{3(5) + 1} = 5 - 1$$ $$\sqrt{15 + 1} = 4$$ $$\sqrt{16} = 4$$ $$4 = 4$$ Это верно, значит, x = 5 является решением.

Ответ: x = 5