1. Решите уравнение x³-64x=0 2. Решите уравнение с помощью введения новой переменной (x²-7)²-5(x²-7)+6=0 3. Решите биквадратное уравнение x⁴-2x²-8=0 4. Решите уравнение способом группировки x³ + 3x²-4x-12=0 5. Решите дробное рациональное уравнение x²-3x-4

1. Решите уравнение $$x^3 - 64x = 0$$

Вынесем общий множитель за скобки:

$$x(x^2 - 64) = 0$$

Разложим скобку по формуле разности квадратов:

$$x(x - 8)(x + 8) = 0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

• $$x = 0$$
• $$x - 8 = 0 Rightarrow x = 8$$
• $$x + 8 = 0 Rightarrow x = -8$$

Ответ:

$$x = 0, x = 8, x = -8$$ 2. Решите уравнение с помощью введения новой переменной $$(x^2 - 7)^2 - 5(x^2 - 7) + 6 = 0$$

Пусть $$t = x^2 - 7$$. Тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 5t + 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно t. Используем теорему Виета:

• $$t_1 + t_2 = 5$$
• $$t_1 cdot t_2 = 6$$

Корни: $$t_1 = 2, t_2 = 3$$

Теперь вернемся к переменной x:

1) $$x^2 - 7 = 2 Rightarrow x^2 = 9 Rightarrow x = pm 3$$

2) $$x^2 - 7 = 3 Rightarrow x^2 = 10 Rightarrow x = pm sqrt{10}$$

Ответ:

$$x = -3, x = 3, x = -sqrt{10}, x = sqrt{10}$$ 3. Решите биквадратное уравнение $$x^4 - 2x^2 - 8 = 0$$

Пусть $$t = x^2$$. Тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 2t - 8 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно t, используя теорему Виета:

• $$t_1 + t_2 = 2$$
• $$t_1 cdot t_2 = -8$$

Корни: $$t_1 = 4, t_2 = -2$$

Теперь вернемся к переменной x:

1) $$x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2$$

2) $$x^2 = -2$$ (нет решений, так как квадрат не может быть отрицательным).

Ответ:

$$x = -2, x = 2$$ 4. Решите уравнение способом группировки $$x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$$

Сгруппируем первые два и последние два члена:

$$(x^3 + 3x^2) + (-4x - 12) = 0$$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$$x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0$$

Вынесем общую скобку:

$$(x + 3)(x^2 - 4) = 0$$

Разложим скобку по формуле разности квадратов:

$$(x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

• $$x + 3 = 0 Rightarrow x = -3$$
• $$x - 2 = 0 Rightarrow x = 2$$
• $$x + 2 = 0 Rightarrow x = -2$$

Ответ:

$$x = -3, x = 2, x = -2$$ 5. Решите дробное рациональное уравнение $$\frac{x^2 - 3x - 4}{x} = 0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

• $$x^2 - 3x - 4 = 0$$
• $$x
  eq 0$$

Решим квадратное уравнение относительно x. Используем теорему Виета:

• $$x_1 + x_2 = 3$$
• $$x_1 \cdot x_2 = -4$$

Корни: $$x_1 = 4, x_2 = -1$$

Проверим условие $$x
eq 0$$. Оба корня удовлетворяют этому условию.

Ответ:

$$x = 4, x = -1$$