Решите уравнения: 1) X⁴-10X²+9=0 2) X⁴-18X²+32=0 3) X⁴-X²-12 = 0 4) (X²-7)²-4(X²-7)-45=0 5) (X²+X+6)(X²+X-4)=144

Решим уравнения: 1) $$x^4-10x^2+9=0$$

Введем замену $$t=x^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2-10t+9=0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-10)^2 - 4 cdot 1 cdot 9 = 100 - 36 = 64$$ $$t_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 cdot 1} = \frac{10+8}{2} = 9$$ $$t_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 cdot 1} = \frac{10-8}{2} = 1$$

Вернемся к замене:

$$x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -3$$ $$x^2 = 1 \Rightarrow x_3 = 1, x_4 = -1$$ Ответ: $$x_1 = 3, x_2 = -3, x_3 = 1, x_4 = -1$$ 2) $$x^4-18x^2+32=0$$

Введем замену $$t=x^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2-18t+32=0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-18)^2 - 4 cdot 1 cdot 32 = 324 - 128 = 196$$ $$t_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{196}}{2 cdot 1} = \frac{18+14}{2} = 16$$ $$t_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{196}}{2 cdot 1} = \frac{18-14}{2} = 2$$

Вернемся к замене:

$$x^2 = 16 \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -4$$ $$x^2 = 2 \Rightarrow x_3 = \sqrt{2}, x_4 = -\sqrt{2}$$ Ответ: $$x_1 = 4, x_2 = -4, x_3 = \sqrt{2}, x_4 = -\sqrt{2}$$ 3) $$x^4-x^2-12=0$$

Введем замену $$t=x^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2-t-12=0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$ $$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 cdot 1} = \frac{1+7}{2} = 4$$ $$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 cdot 1} = \frac{1-7}{2} = -3$$

Вернемся к замене:

$$x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2$$ $$x^2 = -3$$ - нет решений, т.к. квадрат числа не может быть отрицательным. Ответ: $$x_1 = 2, x_2 = -2$$ 4) $$(x^2-7)^2-4(x^2-7)-45=0$$

Введем замену $$t=x^2-7$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2-4t-45=0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-4)^2 - 4 cdot 1 cdot (-45) = 16 + 180 = 196$$ $$t_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{196}}{2 cdot 1} = \frac{4+14}{2} = 9$$ $$t_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{196}}{2 cdot 1} = \frac{4-14}{2} = -5$$

Вернемся к замене:

$$x^2-7 = 9 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -4$$ $$x^2-7 = -5 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x_3 = \sqrt{2}, x_4 = -\sqrt{2}$$ Ответ: $$x_1 = 4, x_2 = -4, x_3 = \sqrt{2}, x_4 = -\sqrt{2}$$ 5) $$(x^2+x+6)(x^2+x-4)=144$$

Введем замену $$t=x^2+x$$, тогда уравнение примет вид:

$$(t+6)(t-4)=144$$ $$t^2+2t-24=144$$ $$t^2+2t-168=0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-168) = 4 + 672 = 676$$ $$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{676}}{2 cdot 1} = \frac{-2+26}{2} = 12$$ $$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{676}}{2 cdot 1} = \frac{-2-26}{2} = -14$$

Вернемся к замене:

$$x^2+x = 12 \Rightarrow x^2+x-12=0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$ $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 cdot 1} = \frac{-1+7}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 cdot 1} = \frac{-1-7}{2} = -4$$ $$x^2+x = -14 \Rightarrow x^2+x+14=0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (1)^2 - 4 cdot 1 cdot 14 = 1 - 56 = -55$$ - нет решений, т.к. дискриминант отрицательный. Ответ: $$x_1 = 3, x_2 = -4$$