Решите задачи с полным решением (дано, найти, решение (пояснения)) 7. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК=6, СК=10. 8. В ромбе МНРК с тупым углом К диагонали пересекаются в точке Е. Один из углов треугольника РКЕ равен 20°. Найти углы ромба. 9. В равнобедренной трапеции известна высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

Пусть параллелограмм ABCD, биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Тогда BK = 6, CK = 10. Значит, BC = BK + CK = 6 + 10 = 16.

Так как AK – биссектриса угла A, то ∠BAK = ∠KAD. Так как BC || AD, то ∠BKA = ∠KAD как накрест лежащие углы. Следовательно, ∠BAK = ∠BKA, а значит, треугольник ABK – равнобедренный, и AB = BK = 6.

Периметр параллелограмма ABCD равен 2(AB + BC) = 2(6 + 16) = 2 × 22 = 44.

В ромбе MHPK диагонали пересекаются в точке E. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым углом. Следовательно, треугольник PEK – прямоугольный. Так как один из углов треугольника PKE равен 20°, то возможны два случая:

1. ∠EPK = 20°. Тогда ∠EKP = 90° – 20° = 70°. Значит, ∠PKM = 2 × ∠EKP = 2 × 70° = 140° (тупой угол ромба). ∠PMH = 180° – 140° = 40° (острый угол ромба).
2. ∠PEK = 20°. Но это невозможно, так как ∠PEK = 90°.

Проведем высоту из вершины C к основанию AD, CH – высота. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. В нем угол A = 45°, значит, угол ACH = 45°, и треугольник AHC – равнобедренный. Следовательно, AH = CH = 5.

Так как BC = 6 и BC = HD, то AD = AH + HD = 5 + 6 = 11.