С-33. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ СТЕПЕНИ С ДРОБНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ 1. Разложите на множители: 1) a) a-4a2; 6) 62+36; 1 1 2 1 1 2) a) x²+10x4; 3 4 1 6) y-2y²; B) -9; в) (2); (y) г) у 13 3 1 -27; 1 B) cd10+cd5; г) р 2. Сократите дробь: 1 2 a+6a² 1) a) a2+5 ; 2 1 9 9. -p³; 2 2 3. д) а³-b³; 3 2 3 2. e) x²+y²; д) 6-25, где в≥0; е) а-125, где а>0. 3 3 2 2 a²+b² 11 a-a2b2+b e); ; B) x-y x0,5+0,5, д) 562 12 б) ; г) 1 1 x1.5y + xy1.5 xy0.5+x0,5 y ; 62+364 3 3 p-q 1 31 13 2 ; ; 6 -y 2) a) x-3x² 3 2 x²-3x 1 3 6) 4°+y y 1 3 5 6 3. Найдите значение выражения: 9a-b a2b2-ab+a2b2 в) 3-0,560,5; д) ; a a+b 2 2 5 5 г) p 9 41; e) x0,340,3 x0,140,1 p+p5q5 y-49y 0.5 0.75-790.5 при у=2,25.

Решение: 1. Разложите на множители: 1) a) $$a - 4a^{\frac{1}{2}}$$ $$a - 4\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} - 4)$$ б) $$b^2 + 3b^{\frac{1}{4}}$$ $$b^2 + 3\sqrt[4]{b} = \sqrt[4]{b}(b^{7/4} + 3)$$ 2) a) $$x^{\frac{1}{2}} + 10x^{\frac{1}{4}}$$ $$\sqrt{x} + 10\sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{x}(\sqrt[4]{x} + 10)$$ б) $$y^{\frac{3}{4}} - 2y^{\frac{1}{2}}$$ $$\sqrt[4]{y^3} - 2\sqrt{y} = \sqrt{y}(\sqrt[4]{y^{3/2}} - 2)$$ в) $$(x^{\frac{1}{2}})^2 - 9$$ $$x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)$$ г) $$(y^{\frac{1}{3}})^3 - 27$$ $$y - 27 = (\sqrt[3]{y} - 3)(y^{2/3} + 3\sqrt[3]{y} + 9)$$ в) $$cd^{\frac{1}{10}} + cd^{\frac{1}{5}}$$ $$cd^{\frac{1}{10}} + cd^{\frac{2}{10}} = cd^{\frac{1}{10}}(1 + d^{\frac{1}{10}})$$ г) $$p^{\frac{2}{9}} - p^{\frac{1}{9}}$$ $$p^{\frac{1}{9}}(p^{\frac{1}{9}} - 1)$$ д) $$a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$$ $$(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$$ e) $$x^{\frac{2}{2}} + y^{\frac{2}{2}}$$ $$x+y$$ д) $$b - 25$$, где $$b \ge 0$$ $$(\sqrt{b} - 5)(\sqrt{b} + 5)$$ e) $$a - 125$$, где $$a > 0$$ $$(\sqrt[3]{a} - 5)(a^{\frac{2}{3}} + 5\sqrt[3]{a} + 25)$$ 2. Сократите дробь: 1) a) $$\frac{a + 6a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + 5} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 6)}{\sqrt{a}+5}$$ б) $$\frac{5b^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}} + 3b^{\frac{1}{4}}} = \frac{5\sqrt{b}}{\sqrt{b} + 3\sqrt[4]{b}}$$ 2) a) $$\frac{x - 3x^{\frac{2}{2}}}{x^{\frac{2}{2}} - 3x} = \frac{x - 3x}{x - 3x} = \frac{-2x}{-2x} = 1$$ б) $$\frac{y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{5}{6}}}{y^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{5}{6}}} = \frac{\sqrt[3]{y} + \sqrt[6]{y^5}}{\sqrt[3]{y} - \sqrt[6]{y^5}}$$ в) $$\frac{x - y}{x^{0.5} + y^{0.5}}$$ $$\frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$$ г) $$\frac{x^{1.5}y + xy^{1.5}}{xy^{0.5} + x^{0.5}y} = \frac{xy(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{xy}{\sqrt{xy}} = \sqrt{xy}$$ д) $$\frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}{a - \sqrt{ab} + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$$ e) $$\frac{p - q}{p^{\frac{1}{3}} - q^{\frac{1}{3}}} = \frac{(p^{\frac{1}{3}} - q^{\frac{1}{3}})(p^{\frac{2}{3}} + p^{\frac{1}{3}}q^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{2}{3}})}{p^{\frac{1}{3}} - q^{\frac{1}{3}}} = p^{\frac{2}{3}} + p^{\frac{1}{3}}q^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{2}{3}}$$ в) $$\frac{9a - b}{3a - a^{0.5}b^{0.5}} = \frac{(3\sqrt{a} - \sqrt{b})(3\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a}(3\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{3\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a}}$$ д) $$\frac{a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} - ab + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{2}}}{a + b} = \frac{\sqrt{ab}(a - \sqrt{ab} + b)}{a + b}$$ г) $$\frac{p^{\frac{2}{5}} - q^{\frac{2}{5}}}{p^{\frac{4}{1}} + p^{\frac{1}{5}}q^{\frac{1}{5}}}$$ e) $$\frac{x^{\frac{0.3}{}} - y^{\frac{0.3}{}}}{x^{\frac{0.1}{}} - y^{\frac{0.1}{}}}$$ 3. Найдите значение выражения: $$\frac{y - 49y^{0.5}}{y^{0.75} - 7y^{0.5}}$$, при $$y = 2.25$$ $$\frac{y - 49\sqrt{y}}{\sqrt[4]{y^3} - 7\sqrt{y}}$$ Подставим $$y = 2.25$$ $$\sqrt{y} = \sqrt{2.25} = 1.5$$ $$\sqrt[4]{y^3} = \sqrt[4]{2.25^3} = \sqrt[4]{11.39} \approx 1.83$$ Тогда: $$\frac{2.25 - 49 \cdot 1.5}{1.83 - 7 \cdot 1.5} = \frac{2.25 - 73.5}{1.83 - 10.5} = \frac{-71.25}{-8.67} \approx 8.22$$ Ответ: 8.22