Самостоятельная работа № 5 (Показательные уравнения)

Вариант 1

1. $$3^{x^2-x} = 9$$

Представим 9 как 3 в степени 2: $$3^{x^2-x} = 3^2$$. Теперь можно приравнять показатели степеней: $$x^2 - x = 2$$. Перенесем 2 в левую часть уравнения: $$x^2 - x - 2 = 0$$. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$. Найдем корни: $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$$.

Ответ: x = 2; x = -1

2. $$2^{x-1} + 2^{x+2} = 36$$

Разложим степени: $$2^{x-1} + 2^{x+2} = 2^x cdot 2^{-1} + 2^x cdot 2^{2} = 36$$. Вынесем $$2^x$$ за скобки: $$2^x (2^{-1} + 2^2) = 36$$. $$2^x (\frac{1}{2} + 4) = 36$$. $$2^x cdot \frac{9}{2} = 36$$. Разделим обе части уравнения на $$\frac{9}{2}$$: $$2^x = 36 \div \frac{9}{2} = 36 \cdot \frac{2}{9} = 8$$. Представим 8 как 2 в степени 3: $$2^x = 2^3$$. Следовательно, x = 3.

Ответ: x = 3

3. $$25^x + 10 cdot 5^{x-1} - 3 = 0$$

Преобразуем уравнение: $$(5^2)^x + 10 cdot \frac{5^x}{5} - 3 = 0$$. $$(5^x)^2 + 2 cdot 5^x - 3 = 0$$. Пусть $$t = 5^x$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 + 2t - 3 = 0$$. Решим квадратное уравнение: $$D = 2^2 - 4 cdot 1 cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$. $$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$ $$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$. Вернемся к замене: $$5^x = 1$$ или $$5^x = -3$$. Первое уравнение имеет решение x = 0, так как $$5^0 = 1$$. Второе уравнение не имеет решений, так как показательная функция всегда положительна.

Ответ: x = 0

4. $$7^{x+1} cdot 2^x = 98$$

Преобразуем уравнение: $$7^{x+1} cdot 2^x = 7 \cdot 7^x cdot 2^x = 7 cdot (7 cdot 2)^x = 7 cdot 14^x = 98$$. Разделим обе части уравнения на 7: $$14^x = 14$$. Следовательно, x = 1.

Ответ: x = 1

Вариант 2

1. $$2^{x^2-3x} = \frac{1}{4}$$

Представим $$\frac{1}{4}$$ как 2 в степени -2: $$2^{x^2-3x} = 2^{-2}$$. Приравняем показатели степеней: $$x^2 - 3x = -2$$. Перенесем -2 в левую часть: $$x^2 - 3x + 2 = 0$$. Решим квадратное уравнение: $$D = (-3)^2 - 4 cdot 1 cdot 2 = 9 - 8 = 1$$. Найдем корни: $$x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1$$.

Ответ: x = 2; x = 1

2. $$5^x - 5^{x-2} = 600$$

Преобразуем уравнение: $$5^x - \frac{5^x}{5^2} = 600$$. Вынесем $$5^x$$ за скобки: $$5^x(1 - \frac{1}{25}) = 600$$. $$5^x cdot \frac{24}{25} = 600$$. Разделим обе части уравнения на $$\frac{24}{25}$$: $$5^x = 600 \div \frac{24}{25} = 600 \cdot \frac{25}{24} = 625$$. Представим 625 как 5 в степени 4: $$5^x = 5^4$$. Следовательно, x = 4.

Ответ: x = 4

3. $$9^x + 3^{x+1} - 4 = 0$$

Преобразуем уравнение: $$(3^2)^x + 3 cdot 3^x - 4 = 0$$. $$(3^x)^2 + 3 cdot 3^x - 4 = 0$$. Пусть $$t = 3^x$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 + 3t - 4 = 0$$. Решим квадратное уравнение: $$D = 3^2 - 4 cdot 1 cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$. $$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$$ $$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = -4$$. Вернемся к замене: $$3^x = 1$$ или $$3^x = -4$$. Первое уравнение имеет решение x = 0, так как $$3^0 = 1$$. Второе уравнение не имеет решений, так как показательная функция всегда положительна.

Ответ: x = 0

4. $$2^x cdot 5^{x+2} = 2500$$

Преобразуем уравнение: $$2^x cdot 5^{x+2} = 2^x cdot 5^x cdot 5^2 = (2 cdot 5)^x cdot 25 = 10^x cdot 25 = 2500$$. Разделим обе части уравнения на 25: $$10^x = 100$$. Представим 100 как 10 в степени 2: $$10^x = 10^2$$. Следовательно, x = 2.

Ответ: x = 2