Самостоятельная работа 1. Даны векторы $$\vec{a}{3;-2}$$, $$\vec{b}{-1;1}$$. Найдите координаты векторов $$\vec{m}=-3\vec{a}$$, $$\vec{n}=\vec{a}+2\vec{b}$$, запишите разложение по $$\vec{i}$$ и $$\vec{j}$$. 2. Даны точки $$A(1;-2)$$, $$B(3;6)$$, $$C(5;-2)$$. а) Найдите координаты векторов $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CB}$$. б) Найдите $$|\vec{AB}|$$, $$|\vec{AC}|$$. 3. В треугольнике $$ABC$$ $$MN$$ - средняя линия, $$M \in AB$$, $$N \in BC$$, $$O$$ - точка пересечения медиан. $$M(2;-1)$$, $$N(0;-1)$$, $$C(1;-2)$$. Найдите координаты вершин треугольника.

1. Даны векторы $$\vec{a}{3;-2}$$, $$\vec{b}{-1;1}$$. * $$\vec{m}=-3\vec{a} = -3 \cdot (3;-2) = (-9;6)$$. $$\vec{m} = -9\vec{i} + 6\vec{j}$$. * $$\vec{n}=\vec{a}+2\vec{b} = (3;-2) + 2\cdot(-1;1) = (3;-2) + (-2;2) = (1;0)$$. $$\vec{n} = \vec{i} + 0\vec{j} = \vec{i}$$. 2. Даны точки $$A(1;-2)$$, $$B(3;6)$$, $$C(5;-2)$$. * а) $$\vec{AB} = (3-1; 6-(-2)) = (2;8)$$. $$\vec{CB} = (3-5; 6-(-2)) = (-2;8)$$. * б) $$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 8^2} = \sqrt{4+64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$$. $$|\vec{AC}| = \sqrt{(5-1)^2 + (-2-(-2))^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$$. 3. В треугольнике $$ABC$$ $$MN$$ - средняя линия, $$M \in AB$$, $$N \in BC$$, $$O$$ - точка пересечения медиан. $$M(2;-1)$$, $$N(0;-1)$$, $$C(1;-2)$$. Координаты точки пересечения медиан $$O = \frac{A+B+C}{3}$$. Т.к. $$MN$$ - средняя линия, то $$O$$ делит медиану $$CO$$ в отношении 2:1, считая от вершины $$C$$. Пусть $$O(x;y)$$, тогда $$x = \frac{2x_N + x_C}{3}$$ и $$y = \frac{2y_N + y_C}{3}$$. $$x = \frac{2\cdot0 + 1}{3} = \frac{1}{3}$$. $$y = \frac{2\cdot(-1) + (-2)}{3} = \frac{-4}{3}$$. $$O(\frac{1}{3};-\frac{4}{3})$$. $$O = \frac{A+B+C}{3}$$. $$\frac{1}{3} = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$$. $$-\frac{4}{3} = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$$. $$1 = x_A + x_B + x_C$$. $$-4 = y_A + y_B + y_C$$. $$1 = x_A + x_B + 1$$, $$x_A + x_B = 0$$. $$-4 = y_A + y_B - 2$$, $$y_A + y_B = -2$$. Т.к. $$M$$ - середина $$AB$$, то $$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$$ и $$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$$. $$2 = \frac{x_A + x_B}{2}$$, $$x_A + x_B = 4$$. $$-1 = \frac{y_A + y_B}{2}$$, $$y_A + y_B = -2$$. Получили противоречие. В условии ошибка.