Самостоятельная работа «Логарифмы и их свойства» Вариант 1

1. Вычислите: а) $$2^{\log_2 4}$$ Так как $$a^{\log_a b} = b$$, то $$2^{\log_2 4} = 4$$. б) $$2^{\log_2 32}$$ Так как $$32 = 2^5$$, то $$2^{\log_2 32} = 2^{\log_2 2^5} = 2^5 = 32$$. в) $$10^{\lg 100}$$ Так как $$\lg 100 = \log_{10} 100 = 2$$, то $$10^{\lg 100} = 10^2 = 100$$. г) $$\pi^{\log_{\pi} 18}$$ Так как $$a^{\log_a b} = b$$, то $$\pi^{\log_{\pi} 18} = 18$$. д) $$e^{\ln 5}$$ Так как $$a^{\log_a b} = b$$, то $$e^{\ln 5} = 5$$. 2. Вычислите: а) $$\log_3 3$$ Логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен 1. Значит, $$\log_3 3 = 1$$. б) $$\log_{\pi} \pi$$ Логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен 1. Значит, $$\log_{\pi} \pi = 1$$. в) $$\lg 10$$ Десятичный логарифм числа 10 равен 1. Значит, $$\lg 10 = \log_{10} 10 = 1$$. г) $$\ln e$$ Натуральный логарифм числа e равен 1. Значит, $$\ln e = \log_e e = 1$$. д) $$\log_{a+5} (a+5)$$ Логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен 1. Значит, $$\log_{a+5} (a+5) = 1$$. 3. Представьте 1 в виде логарифма: а) с основанием 4: $$1 = \log_4 4$$ б) с основанием 10: $$1 = \log_{10} 10$$ в) с основанием e: $$1 = \log_e e$$ г) с основанием -3: Представить 1 в виде логарифма с основанием -3 невозможно, так как основание логарифма должно быть положительным числом, отличным от 1. д) с основанием 5: $$1 = \log_5 5$$ 4. Вычислите: а) $$\log_3 1$$ Логарифм единицы по любому основанию равен 0. Значит, $$\log_3 1 = 0$$. б) $$\log_{\pi} 1$$ Логарифм единицы по любому основанию равен 0. Значит, $$\log_{\pi} 1 = 0$$. в) $$\lg 1$$ Логарифм единицы по любому основанию равен 0. Значит, $$\lg 1 = \log_{10} 1 = 0$$. г) $$\ln 1$$ Логарифм единицы по любому основанию равен 0. Значит, $$\ln 1 = \log_e 1 = 0$$. д) $$\log_3 (-1)$$ Логарифм отрицательного числа не существует. Значит, выражение не имеет смысла. 5. Представьте 0 в виде логарифма: а) с основанием 4: $$0 = \log_4 1$$ б) с основанием 10: $$0 = \log_{10} 1$$ в) с основанием e: $$0 = \log_e 1$$ г) с основанием -3: Представить 0 в виде логарифма с основанием -3 невозможно, так как основание логарифма должно быть положительным числом, отличным от 1. д) с основанием 5: $$0 = \log_5 1$$ 6. Представьте логарифм произведения в виде суммы логарифмов: Логарифм произведения равен сумме логарифмов, то есть, если дано выражение $$\log_a (xy)$$, то его можно представить как $$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$$. Например, $$\log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$$. Или $$\log_5 (25 \cdot 5) = \log_5 25 + \log_5 5 = 2 + 1 = 3$$.