Сегодня премьера нового фильма. Вы пришли к открытию кассы, но перед вами в очереди уже стоят n человек. Билеты продают три кассира. Первый кассир обслуживает одного посетителя за 30 секунд, второй — за 50 секунд, третий — за 75 секунд. Очередь за билетами одна, и стоящий в начале очереди отправляется к первому освободившемуся кассиру. Все кассиры начинают работать одновременно. Сколько времени вам нужно ждать в очереди? Например, если n = 4, то вам придётся ждать 50 секунд: первые три человека уйдут к трём кассирам, через 30 секунд вашего ожидания освободится первый кассир и к нему уйдёт четвёртый человек из очереди, а через 50 секунд освободится второй кассир, и вы попадёте к нему. Даны следующие 5 значений числа n. 5 6 10 33 108 Для каждого из них определите, сколько секунд вам придётся ждать в очереди, если в момент открытия продажи билетов перед вами стояло данное число людей. В ответе запишите пять чисел, каждое число записывайте в отдельной строке. Если вы не можете дать ответ для какого-то значения, запишите в ответе любое число.

Решение:

Для решения этой задачи будем моделировать процесс обслуживания клиентов тремя кассирами.

Кассир 1: обслуживает за 30 секунд.

Кассир 2: обслуживает за 50 секунд.

Кассир 3: обслуживает за 75 секунд.

Очередь общая. Клиенты идут к первому освободившемуся кассиру.

Расчёты для каждого значения n:

1. n = 5
   Первые 3 клиента идут к кассирам 1, 2, 3.
2. Через 30 сек: Кассир 1 освобождается. 4-й клиент идёт к Кассиру 1.
3. Через 50 сек: Кассир 2 освобождается. 5-й клиент идёт к Кассиру 2.
4. Вы (6-й клиент) попадёте к Кассиру 3, который освободится через 75 секунд.
5. Время ожидания: 75 секунд.

2. n = 6
   Первые 3 клиента идут к кассирам 1, 2, 3.
3. Через 30 сек: Кассир 1 освобождается. 4-й клиент идёт к Кассиру 1.
4. Через 50 сек: Кассир 2 освобождается. 5-й клиент идёт к Кассиру 2.
5. Через 75 сек: Кассир 3 освобождается. 6-й клиент идёт к Кассиру 3.
6. Вы (7-й клиент) попадёте к Кассиру 1, который освободится в 30 + 30 = 60 сек.
7. Время ожидания: 60 секунд.

3. n = 10
   Первые 3 клиента у кассиров 1, 2, 3.
4. Через 30 сек: К1 освобождается (4-й клиент).
5. Через 50 сек: К2 освобождается (5-й клиент).
6. Через 60 сек: К1 освобождается (6-й клиент).
7. Через 75 сек: К3 освобождается (7-й клиент).
8. Через 80 сек: К2 освобождается (8-й клиент).
9. Через 90 сек: К1 освобождается (9-й клиент).
10. Через 100 сек: К2 освобождается (10-й клиент).
11. Вы (11-й клиент) попадёте к К3, который освободится через 75 + 75 = 150 сек.
12. Время ожидания: 150 секунд.

4. n = 33
   Для такого количества клиентов, нам нужно понять, когда освободятся все три кассира для обслуживания оставшихся клиентов.
5. Кассир 1 освобождается каждые 30 секунд.
6. Кассир 2 освобождается каждые 50 секунд.
7. Кассир 3 освобождается каждые 75 секунд.
8. После того, как первые 3 клиента уйдут к кассирам, остаются 30 - 3 = 27 человек.
9. Рассчитаем время, когда освободятся кассиры для обслуживания 30-го клиента:
10. К1: 30 + (27-1) * 30 / 2 = 30 + 26 * 15 = 30 + 390 = 420 сек. (если бы только К1 работал, но это не так).
11. Рассчитаем время, когда каждый кассир обслужит своих клиентов:
12. К1 обслуживает каждые 30 сек.
13. К2 обслуживает каждые 50 сек.
14. К3 обслуживает каждые 75 сек.
15. Рассмотрим, когда будет обслужен 33-й человек.
16. 3-й человек обслужен в 75 сек.
17. 6-й человек обслужен в 90 сек (к1).
18. 8-й человек обслужен в 100 сек (к2).
19. 9-й человек обслужен в 105 сек (к3).
20. 10-й человек обслужен в 120 сек (к1).
21. 11-й человек обслужен в 125 сек (к2).
22. 12-й человек обслужен в 150 сек (к3).
23. 13-й человек обслужен в 150 сек (к1).
24. 14-й человек обслужен в 150 сек (к2).
25. 15-й человек обслужен в 150 сек (к3).
26. Это уже становится сложнее считать вручную. Нам нужно найти наименьшее общее кратное для времен обслуживания, но кассиры освобождаются в разное время.
27. Рассмотрим, сколько клиентов обслуживает каждый кассир за время, пока вы ждёте.
28. Для 33 клиентов, после первых 3, осталось 30 клиентов.
29. Каждый кассир обслуживает клиента каждые 30, 50, 75 секунд.
30. К1: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360, 390, 420, 450, 480, 510, 540, 570, 600, 630, 660, 690, 720, 750, 780, 810, 840, 870, 900, 930, 960, 990, 1020, 1050... (33 клиента)
31. К2: 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500, 550, 600, 650, 700, 750, 800, 850, 900, 950, 1000, 1050... (33 клиента)
32. К3: 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, 750, 825, 900, 975, 1050... (33 клиента)
33. Мы ждём 33-го клиента.
34. За 900 секунд:
35. К1: 900 / 30 = 30 клиентов.
36. К2: 900 / 50 = 18 клиентов.
37. К3: 900 / 75 = 12 клиентов.
38. Общее количество обслуженных: 30 + 18 + 12 = 60 клиентов.
39. Нам нужно найти время, когда будет обслужен 33-й клиент.
40. Пусть T - время ожидания.
41. Количество клиентов, обслуженных Кассиром 1: \( \lfloor T/30 \rfloor \)
42. Количество клиентов, обслуженных Кассиром 2: \( \lfloor T/50 \rfloor \)
43. Количество клиентов, обслуженных Кассиром 3: \( \lfloor T/75 \rfloor \)
44. Общее количество обслуженных клиентов должно быть \( n \).
45. \( \lfloor T/30 \rfloor + \lfloor T/50 \rfloor + \lfloor T/75 \rfloor = n-3 \) (так как первые 3 клиента ушли сразу).
46. Для n=33: \( \lfloor T/30 \rfloor + \lfloor T/50 \rfloor + \lfloor T/75 \rfloor = 30 \).
47. При T=900: \( 30 + 18 + 12 = 60 \). Это слишком много.
48. Попробуем T=450: \( \lfloor 450/30 \rfloor + \lfloor 450/50 \rfloor + \lfloor 450/75 \rfloor = 15 + 9 + 6 = 30 \).
49. Значит, 30-й клиент (в очереди после первых трех) будет обслужен через 450 секунд.
50. Таким образом, 33-й клиент в исходной очереди будет обслужен через 450 секунд.
51. Время ожидания: 450 секунд.

5. n = 108
   Используем ту же формулу: \( \lfloor T/30 \rfloor + \lfloor T/50 \rfloor + \lfloor T/75 \rfloor = 108 - 3 = 105 \).
6. Попробуем T=1800: \( \lfloor 1800/30 \rfloor + \lfloor 1800/50 \rfloor + \lfloor 1800/75 \rfloor = 60 + 36 + 24 = 120 \). Это слишком много.
7. Попробуем T=1500: \( \lfloor 1500/30 \rfloor + \lfloor 1500/50 \rfloor + \lfloor 1500/75 \rfloor = 50 + 30 + 20 = 100 \). Это мало.
8. Попробуем T=1650: \( \lfloor 1650/30 \rfloor + \lfloor 1650/50 \rfloor + \lfloor 1650/75 \rfloor = 55 + 33 + 22 = 110 \). Это слишком много.
9. Попробуем T=1620: \( \lfloor 1620/30 \rfloor + \lfloor 1620/50 \rfloor + \lfloor 1620/75 \rfloor = 54 + 32 + 21 = 107 \). Это мало.
10. Попробуем T=1630: \( \lfloor 1630/30 \rfloor + \lfloor 1630/50 \rfloor + \lfloor 1630/75 \rfloor = 54 + 32 + 21 = 107 \).
11. Попробуем T=1640: \( \lfloor 1640/30 \rfloor + \lfloor 1640/50 \rfloor + \\text{1640/75} = 54 + 32 + 21 = 107 \)
12. Попробуем T=1650: \( 55 + 33 + 22 = 110 \).
13. Значит, 105-й клиент будет обслужен между 1620 и 1650 секундами.
14. Нужно найти T такое, что \( \lfloor T/30 \rfloor + \lfloor T/50 \rfloor + \lfloor T/75 \rfloor = 105 \).
15. Для T=1630, сумма = 107.
16. Для T=1620, сумма = 107.
17. Для T=1575: \( \lfloor 1575/30 \rfloor + \lfloor 1575/50 \rfloor + \lfloor 1575/75 \rfloor = 52 + 31 + 21 = 104 \).
18. Для T=1590: \( \lfloor 1590/30 \rfloor + \lfloor 1590/50 \rfloor + \lfloor 1590/75 \rfloor = 53 + 31 + 21 = 105 \).
19. Значит, 105-й клиент будет обслужен через 1590 секунд.
20. Таким образом, 108-й клиент в исходной очереди будет обслужен через 1590 секунд.
21. Время ожидания: 1590 секунд.

Ответ: 75
60
150
450
1590