СР-61. Ядерные силы. Энергия связи. Дефект масс

ВАРИАНТ № 1

1. Определите дефект масс ядра изотопа дейтерия \( ^2_1H \) (тяжёлого водорода). Масса протона приблизительно равна \( 1,0073 \) а.е.м., нейтрона \( 1,0087 \) а.е.м., ядра дейтерия \( 2,0141 \) а.е.м., \( 1 \) а.е.м. = \( 1,66 \cdot 10^{-27} \) кг.

Решение:
Дефект массы \( \Delta m \) — это разность между суммой масс нуклонов, входящих в состав ядра, и массой самого ядра.
\( \Delta m = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m_{\text{ядра}} \)
Для ядра дейтерия \( ^2_1H \): \( Z = 1 \) (протон), \( N = 1 \) (нейтрон).
\( \Delta m = (1 \cdot m_p + 1 \cdot m_n) - m_{^2H} \)
\( \Delta m = (1,0073 \text{ а.е.м.} + 1,0087 \text{ а.е.м.}) - 2,0141 \text{ а.е.м.} \)
\( \Delta m = 2,0160 \text{ а.е.м.} - 2,0141 \text{ а.е.м.} = 0,0019 \text{ а.е.м.} \)
Переведём в кг:
\( \Delta m = 0,0019 \text{ а.е.м.} \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ кг/а.е.м.} = 0,003154 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \approx 3,15 \cdot 10^{-30} \text{ кг} \)

Ответ: Дефект массы ядра дейтерия равен \( 0,0019 \) а.е.м. или \( \approx 3,15 \cdot 10^{-30} \) кг.

2. Определите энергию связи ядра лития \( ^6_3Li \). Масса протона приблизительно равна \( 1,0073 \) а.е.м., нейтрона \( 1,0087 \) а.е.м., ядра лития \( 6,0151 \) а.е.м., \( 1 \) а.е.м. = \( 1,66 \cdot 10^{-27} \) кг, а скорость света \( c = 3 \cdot 10^8 \) м/с.

Решение:
Энергия связи \( E_{\text{связи}} \) вычисляется по формуле Эйнштейна: \( E_{\text{связи}} = \Delta m \cdot c^2 \)
Сначала найдём дефект массы ядра лития \( ^6_3Li \). В ядре \( Z = 3 \) (протона) и \( N = 6 - 3 = 3 \) (нейтрона).
Сумма масс нуклонов: \( 3 \cdot m_p + 3 \cdot m_n = 3 \cdot 1,0073 \text{ а.е.м.} + 3 \cdot 1,0087 \text{ а.е.м.} = 3,0219 \text{ а.е.м.} + 3,0261 \text{ а.е.м.} = 6,0480 \text{ а.е.м.} \)
Дефект массы: \( \Delta m = 6,0480 \text{ а.е.м.} - 6,0151 \text{ а.е.м.} = 0,0329 \text{ а.е.м.} \)
Переведём дефект массы в килограммы:
\( \Delta m = 0,0329 \text{ а.е.м.} \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ кг/а.е.м.} = 0,054614 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \approx 5,46 \cdot 10^{-29} \text{ кг} \)
Теперь найдём энергию связи:
\( E_{\text{связи}} = 5,46 \cdot 10^{-29} \text{ кг} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 \)
\( E_{\text{связи}} = 5,46 \cdot 10^{-29} \text{ кг} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ м}^2/\text{с}^2 \)
\( E_{\text{связи}} = 49,14 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} = 4,914 \cdot 10^{-12} \text{ Дж} \)
Для перевода в МэВ (мегаэлектронвольты) используем соотношение \( 1 \text{ а.е.м. } \approx 931,5 \text{ МэВ} \).
\( E_{\text{связи}} \) в а.е.м. = \( 0,0329 \text{ а.е.м.} \cdot 931,5 \text{ МэВ/а.е.м.} \approx 30,646 \text{ МэВ} \)

Ответ: Энергия связи ядра лития \( ^6_3Li \) равна приблизительно \( 4,91 \cdot 10^{-12} \) Дж или \( \approx 30,65 \) МэВ.