5. Сумма положительных чисел а и в равна 50. При каких значениях а и в их произведение будет наибольшим?

Для решения данной задачи необходимо найти такие положительные числа $$a$$ и $$b$$, чтобы их сумма равнялась 50, а произведение было максимальным. Пусть $$a + b = 50$$. Тогда $$b = 50 - a$$. Наша задача - найти максимум функции $$P(a) = a \cdot b = a(50 - a) = 50a - a^2$$. Для нахождения максимума возьмем производную функции $$P(a)$$ по $$a$$ и приравняем ее к нулю: $$P'(a) = 50 - 2a$$ Решаем уравнение $$50 - 2a = 0$$: $$2a = 50$$ $$a = 25$$ Теперь найдем $$b$$: $$b = 50 - a = 50 - 25 = 25$$ Чтобы убедиться, что это максимум, возьмем вторую производную: $$P''(a) = -2$$ Так как вторая производная отрицательна, то $$a = 25$$ действительно является точкой максимума. Таким образом, произведение $$a \cdot b$$ будет наибольшим при $$a = 25$$ и $$b = 25$$.