Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся 1. Сократите дробь $$\frac{27a^2b^3}{18ab^6}$$. 2. Представьте в виде степени с основанием $$n$$ выражение $$(n^{-3})^{-4}: n^{-15}$$. 3. Упростите выражение $$\sqrt{16b}-0.5\sqrt{36b}$$. 4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $$\frac{x+7}{2x^2-x-6}$$? 5. Докажите тождество: $$\left(\frac{b^2-8b+16}{b^2-16} - \frac{b}{b^2-8b+16}\right) \cdot \frac{b+6}{b^2-16} = \frac{2}{b-4}$$. 6. Первый насос наполнил водой бассейн объёмом 360 м³, а второй — объёмом 480 м³. Первый насос перекачивал на 10 м³ воды в час меньше, чем второй, и работал на 2 ч больше второго. Какой объём воды перекачивал за 1 ч каждый насос? 7. Постройте график функции $$y = \begin{cases} \sqrt{x}, \text{ если } 0 \leq x \leq 1, \\ x^2, \text{ если } x > 1. \end{cases}$$ 8. Докажите, что при любом значении $$p$$ уравнение $$x^2 - px + 2p^2 + 1 = 0$$ не имеет корней.

1. Сократите дробь $$\frac{27a^2b^3}{18ab^6}$$. $$\frac{27a^2b^3}{18ab^6} = \frac{3a}{2b^3}$$ 2. Представьте в виде степени с основанием $$n$$ выражение $$(n^{-3})^{-4}: n^{-15}$$. $$(n^{-3})^{-4}: n^{-15} = n^{(-3)\cdot(-4)} : n^{-15} = n^{12} : n^{-15} = n^{12 - (-15)} = n^{12 + 15} = n^{27}$$ 3. Упростите выражение $$\sqrt{16b}-0.5\sqrt{36b}$$. $$\sqrt{16b}-0.5\sqrt{36b} = 4\sqrt{b} - 0.5 \cdot 6 \sqrt{b} = 4\sqrt{b} - 3\sqrt{b} = \sqrt{b}$$ 4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $$\frac{x+7}{2x^2-x-6}$$? Чтобы выражение имело смысл, знаменатель не должен равняться нулю. Значит, нужно найти значения $$x$$, при которых $$2x^2 - x - 6 = 0$$. Решим квадратное уравнение: $$2x^2 - x - 6 = 0$$ $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$$ $$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$$ Таким образом, выражение имеет смысл при $$x
eq 2$$ и $$x
eq -1.5$$. 5. Докажите тождество: $$\left(\frac{b^2-8b+16}{b^2-16} - \frac{b}{b^2-8b+16}\right) \cdot \frac{b+6}{b^2-16} = \frac{2}{b-4}$$. Упростим левую часть тождества: $$\left(\frac{b^2-8b+16}{b^2-16} - \frac{b}{b^2-8b+16}\right) \cdot \frac{b+6}{b^2-16} = \left(\frac{(b-4)^2}{(b-4)(b+4)} - \frac{b}{(b-4)^2}\right) \cdot \frac{b+6}{(b-4)(b+4)} = \left(\frac{b-4}{b+4} - \frac{b}{(b-4)^2}\right) \cdot \frac{b+6}{(b-4)(b+4)} = \left(\frac{(b-4)^3 - b(b+4)}{(b+4)(b-4)^2}\right) \cdot \frac{b+6}{(b-4)(b+4)} = \frac{b^3 - 12b^2 + 48b - 64 - b^2 - 4b}{(b+4)(b-4)^2} \cdot \frac{b+6}{(b-4)(b+4)} = \frac{b^3 - 13b^2 + 44b - 64}{(b+4)(b-4)^2} \cdot \frac{b+6}{(b-4)(b+4)}$$ $$\frac{b^3 - 13b^2 + 44b - 64}{(b+4)(b-4)^2} \cdot \frac{b+6}{(b-4)(b+4)}$$ - Дальнейшее упрощение не приводит к правой части, возможно в условии ошибка. 6. Первый насос наполнил водой бассейн объёмом 360 м³, а второй — объёмом 480 м³. Первый насос перекачивал на 10 м³ воды в час меньше, чем второй, и работал на 2 ч больше второго. Какой объём воды перекачивал за 1 ч каждый насос? Пусть $$x$$ м³/ч — скорость первого насоса, тогда $$x + 10$$ м³/ч — скорость второго насоса. Пусть $$t$$ часов работал второй насос, тогда первый насос работал $$t + 2$$ часа. Можем составить систему уравнений: $$\begin{cases} (x + 10)t = 480 \\ x(t + 2) = 360 \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $$t$$: $$t = \frac{480}{x + 10}$$. Подставим во второе уравнение: $$x\left(\frac{480}{x + 10} + 2\right) = 360$$ $$x\left(\frac{480 + 2x + 20}{x + 10}\right) = 360$$ $$x(500 + 2x) = 360(x + 10)$$ $$500x + 2x^2 = 360x + 3600$$ $$2x^2 + 140x - 3600 = 0$$ $$x^2 + 70x - 1800 = 0$$ $$D = 70^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 4900 + 7200 = 12100$$ $$x_1 = \frac{-70 + \sqrt{12100}}{2} = \frac{-70 + 110}{2} = \frac{40}{2} = 20$$ $$x_2 = \frac{-70 - \sqrt{12100}}{2} = \frac{-70 - 110}{2} = -90$$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной) Итак, первый насос перекачивает 20 м³/ч, тогда второй насос перекачивает $$20 + 10 = 30$$ м³/ч. Ответ: 20 м³/ч и 30 м³/ч. 7. Постройте график функции $$y = \begin{cases} \sqrt{x}, \text{ если } 0 \leq x \leq 1, \\ x^2, \text{ если } x > 1. \end{cases}$$ 8. Докажите, что при любом значении $$p$$ уравнение $$x^2 - px + 2p^2 + 1 = 0$$ не имеет корней. Найдем дискриминант этого уравнения: $$D = (-p)^2 - 4(2p^2 + 1) = p^2 - 8p^2 - 4 = -7p^2 - 4$$ Так как $$p^2 \geq 0$$ при любом $$p$$, то $$-7p^2 \leq 0$$. Следовательно, $$-7p^2 - 4 < 0$$ при любом $$p$$. Это означает, что дискриминант отрицателен, и уравнение не имеет корней.