Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся 1. Сократите дробь 27a³b³ 18ab⁶ 2. Представьте в виде степени с основанием n выражение (n⁻³)⁴ : n⁻¹⁵. 3. Упростите выражение √16b - 0.5√36b. 4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение (x+7) / (2x²-x-6)? 5. Докажите тождество: (b/(b²-8b+16) - (b+6)/(b²-16)) = 2/(b-4). 6. Первый насос наполнил водой бассейн объёмом 360 м³, а второй — объёмом 480 м³. Первый насос перекачивал на 10 м³ воды в час меньше, чем второй, и работал на 2 ч больше второго. Какой объём воды перекачивал за 1 ч каждый насос? 7. Постройте график функции y = {√x, если 0 ≤ x ≤ 1, x², если x > 1. 8. Докажите, что при любом значении p уравнение x² - px + 2p² + 1 = 0 не имеет корней.

1. Сократите дробь $$ \frac{27a^3b^3}{18ab^6} $$. $$ \frac{27a^3b^3}{18ab^6} = \frac{3a^2}{2b^3} $$.

2. Представьте в виде степени с основанием n выражение $$(n^{-3})^4 : n^{-15}$$.

$$ (n^{-3})^4 : n^{-15} = n^{-12} : n^{-15} = n^{-12 - (-15)} = n^{-12+15} = n^3 $$.

3. Упростите выражение $$ \sqrt{16b} - 0.5\sqrt{36b} $$.

$$ \sqrt{16b} - 0.5\sqrt{36b} = 4\sqrt{b} - 0.5 \cdot 6 \sqrt{b} = 4\sqrt{b} - 3\sqrt{b} = \sqrt{b} $$.

4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $$ \frac{x+7}{2x^2-x-6} $$?

Выражение имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю. Найдем значения x, при которых знаменатель равен нулю:

$$ 2x^2 - x - 6 = 0 $$ $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 $$ $$ x_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1+7}{4} = \frac{8}{4} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1-7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5 $$

Таким образом, выражение имеет смысл при $$ x
eq 2 $$ и $$ x
eq -1.5 $$.

5. Докажите тождество: $$ \frac{b}{b^2-8b+16} - \frac{b+6}{b^2-16} = \frac{2}{b-4} $$.

Преобразуем левую часть:

$$ \frac{b}{(b-4)^2} - \frac{b+6}{(b-4)(b+4)} = \frac{b(b+4) - (b+6)(b-4)}{(b-4)^2(b+4)} = $$ $$ = \frac{b^2+4b - (b^2 - 4b + 6b - 24)}{(b-4)^2(b+4)} = \frac{b^2+4b - b^2 + 4b - 6b + 24}{(b-4)^2(b+4)} = $$ $$ = \frac{2b+24}{(b-4)^2(b+4)} = \frac{2(b+12)}{(b-4)(b-4)(b+4)} $$

Тождество неверно.

6. Первый насос наполнил водой бассейн объёмом 360 м³, а второй — объёмом 480 м³. Первый насос перекачивал на 10 м³ воды в час меньше, чем второй, и работал на 2 ч больше второго. Какой объём воды перекачивал за 1 ч каждый насос?

Пусть $$ x $$ – объем воды, который перекачивал первый насос за 1 час, тогда $$ x+10 $$ – объем воды, который перекачивал второй насос за 1 час.

Время работы первого насоса: $$ \frac{360}{x} $$, время работы второго насоса: $$ \frac{480}{x+10} $$.

Из условия известно, что первый насос работал на 2 часа больше, чем второй:

$$ \frac{360}{x} - \frac{480}{x+10} = 2 $$

Умножим обе части уравнения на $$ x(x+10) $$:

$$ 360(x+10) - 480x = 2x(x+10) $$ $$ 360x + 3600 - 480x = 2x^2 + 20x $$ $$ 2x^2 + 20x + 120x - 3600 = 0 $$ $$ 2x^2 + 140x - 3600 = 0 $$ $$ x^2 + 70x - 1800 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D = 70^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 4900 + 7200 = 12100 $$ $$ x_1 = \frac{-70 + \sqrt{12100}}{2} = \frac{-70 + 110}{2} = \frac{40}{2} = 20 $$ $$ x_2 = \frac{-70 - \sqrt{12100}}{2} = \frac{-70 - 110}{2} = -90 $$

Так как объём не может быть отрицательным, то $$ x = 20 $$.

Первый насос перекачивал 20 м³ в час, второй – 30 м³ в час.

7. Постройте график функции $$ y = \begin{cases} \sqrt{x}, \text{ если } 0 \leq x \leq 1, \\ x^2, \text{ если } x > 1. \end{cases} $$

8. Докажите, что при любом значении p уравнение $$ x^2 - px + 2p^2 + 1 = 0 $$ не имеет корней.

Найдем дискриминант:

$$ D = (-p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2p^2 + 1) = p^2 - 8p^2 - 4 = -7p^2 - 4 $$

Так как $$ -7p^2 $$ всегда отрицательно или равно нулю, а $$ -4 $$ - отрицательное число, то $$ D < 0 $$ при любом p. Следовательно, уравнение не имеет корней.