Тест 7. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника Вариант 1 А1. Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение: ■ 1) может быть неверно 2) верно не всегда 3) всегда неверно ☐ 4) всегда верно А2. Если треугольник равнобедренный, то: ■ 1) все его стороны равны ■ 2) любая его медиана является биссектрисой и высотой ☐ 3) все его углы равны 4) одна из его высот совпадает с биссектрисой и ме- дианой АЗ. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см, боковая сторона — 15 см. Чему равно основание этого тре- угольника? 1) 16,5 см 2) 16 см 3) 18 см 4) 24 см А4. В треугольнике АВС высота ВК делит сторону АС по- полам, градусная мера угла А равна 68°. Чему равна вели- чина угла С? 1) 68° 2) 32° 3) 22° 4) 44° В1. Периметр равнобедренного треугольника равен 34 см. Основание меньше боковой стороны на 5 см. Найдите бо- ковую сторону. В2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Периметр ДАВС равен 40 см, а периметр ДАВМ – 34 см. Найдите длину медианы АМ. С1. Сумма двух сторон равнобедренного треугольника равна 26 см, а периметр равен 36 см. Какими могут быть стороны этого треугольника?

А1. В равностороннем треугольнике биссектриса является также медианой и высотой. Ответ: 4) всегда верно. А2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, и высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Ответ: 4) одна из его высот совпадает с биссектрисой и медианой. А3. Пусть основание равно x см. Тогда периметр равен $$15 + 15 + x = 48$$. Отсюда $$x = 48 - 30 = 18$$ см. Ответ: 3) 18 см. А4. Так как высота BK делит сторону AC пополам, треугольник ABC равнобедренный, и $$AB = BC$$. Угол A равен 68 градусам. Значит, угол C тоже равен 68 градусам. Ответ: 1) 68°. В1. Пусть боковая сторона равна x см, тогда основание равно $$(x - 5)$$ см. Периметр равен $$x + x + (x - 5) = 34$$. Отсюда $$3x = 39$$, и $$x = 13$$ см. Ответ: Боковая сторона равна 13 см. В2. Обозначим боковую сторону AB как x, основание BC как y. Тогда периметр треугольника ABC равен $$2x + y = 40$$. Периметр треугольника ABM равен $$x + \frac{y}{2} + AM = 34$$. Выразим AM: $$AM = 34 - x - \frac{y}{2}$$. Так как AM – медиана, то она делит сторону BC пополам. Выразим $$x$$ из первого уравнения: $$x = \frac{40 - y}{2}$$. Подставим во второе уравнение: $$\frac{40 - y}{2} + \frac{y}{2} + AM = 34$$. Отсюда $$AM = 34 - \frac{40 - y}{2} - \frac{y}{2} = 34 - 20 = 14$$ см. Ответ: Длина медианы AM равна 14 см. С1. Пусть a и b – стороны равнобедренного треугольника, причем $$a = b$$. Тогда $$a + b = 26$$, значит, $$2a = 26$$, и $$a = 13$$ см. Периметр равен 36 см, то есть $$a + b + c = 36$$, где c – третья сторона. Следовательно, $$13 + 13 + c = 36$$, и $$c = 10$$ см. В другом случае, если $$a + c = 26$$, то $$13 + c = 26$$, и $$c = 13$$. То есть все стороны по 13 см. Ответ: Стороны треугольника могут быть 13 см, 13 см и 10 см или 13 см, 13 см и 13 см.