Тип 16. Найдите все такие простые числа (p), что числа (p+2), (p+6), (p+8), (p+12) и (p+14) также простые.

Чтобы решить эту задачу, нужно рассмотреть различные простые числа (p) и проверить, будут ли (p+2), (p+6), (p+8), (p+12) и (p+14) простыми. 1. Если (p = 2), то (p+2 = 4), которое не является простым числом. Следовательно, (p) не может быть равно 2. 2. Если (p = 3), то (p+2 = 5), (p+6 = 9), которое не является простым числом. Следовательно, (p) не может быть равно 3. 3. Если (p = 5), то (p+2 = 7), (p+6 = 11), (p+8 = 13), (p+12 = 17), (p+14 = 19). Все эти числа простые. Теперь докажем, что не существует других простых чисел (p), удовлетворяющих условию задачи. Рассмотрим остатки при делении на 5. Любое простое число (p > 5) может давать остатки 1, 2, 3 или 4 при делении на 5. * Если (p \equiv 1 \pmod{5}), то (p+14 \equiv 1+14 \equiv 15 \equiv 0 \pmod{5}). Значит, (p+14) делится на 5 и не является простым (так как (p+14 > 5)). * Если (p \equiv 2 \pmod{5}), то (p+8 \equiv 2+8 \equiv 10 \equiv 0 \pmod{5}). Значит, (p+8) делится на 5 и не является простым (так как (p+8 > 5)). * Если (p \equiv 3 \pmod{5}), то (p+2 \equiv 3+2 \equiv 5 \equiv 0 \pmod{5}). Значит, (p+2) делится на 5 и не является простым (так как (p+2 > 5)). * Если (p \equiv 4 \pmod{5}), то (p+6 \equiv 4+6 \equiv 10 \equiv 0 \pmod{5}). Значит, (p+6) делится на 5 и не является простым (так как (p+6 > 5)). Таким образом, единственное простое число (p), при котором (p+2), (p+6), (p+8), (p+12) и (p+14) также являются простыми, это (p = 5). Ответ: 5