Треугольник АВС - равнобедренный с основанием АВ. Точки М и К - середины сторон АС и ВС соответственно, точка Н лежит на стороне АВ, причем ∠AMH = ∠BКН. Найдите ∠BCH и ∠BHC, если ∠ACB = 32°.

Шаг 1: Анализ условия и идентификация задачи.

Треугольник ABC равнобедренный с основанием AB. M и K — середины сторон AC и BC соответственно. Точка H лежит на стороне AB, причём углы AMH и BKH равны. Нужно найти углы BCH и BHC, если угол ACB равен 32°.

Шаг 2: Выбор методики и планирование решения.

Используем свойства равнобедренного треугольника и теоремы о сумме углов в треугольнике.

Шаг 3: Пошаговое выполнение и форматирование.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠ABC.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

$$∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180deg$$

$$2 cdot ∠BAC + 32deg = 180deg$$

$$2 cdot ∠BAC = 180deg - 32deg = 148deg$$

$$∠BAC = ∠ABC = rac{148deg}{2} = 74deg$$

Так как M и K — середины сторон AC и BC соответственно, то MK — средняя линия треугольника ABC. Следовательно, MK || AB.

Тогда ∠AMH = ∠BAC = 74° и ∠BKH = ∠ABC = 74° (как соответственные углы при параллельных прямых MK и AB и секущих AC и BC соответственно).

Так как ∠AMH = ∠BKH, то треугольник MHC является равнобедренным с основанием MH (по условию). Следовательно, ∠MCH = ∠HCM = ∠BCH.

∠ACB = 32°, следовательно, ∠BCH = ∠ACB = 32°.

Рассмотрим треугольник BHC. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

$$∠HBC + ∠BCH + ∠BHC = 180deg$$

$$74deg + 32deg + ∠BHC = 180deg$$

$$∠BHC = 180deg - 74deg - 32deg = 74deg$$

Шаг 4: Финальное оформление ответа.

∠BCH = 32°

∠BHC = 74°

Ответ: ∠BCH = 32°, ∠BHC = 74°.