Упрости и найди значение выражения $$\frac{x^2 - 2xy + y^2}{2x^2y^2} \cdot \frac{x^2y^3}{x^2y - y^3}$$при $$x = 2, y = -1\frac{1}{2}$$. Запиши в поле ответа верное число.

Решение:

1. Упростим выражение. Числитель первой дроби \( x^2 - 2xy + y^2 \) является квадратом разности: \( (x - y)^2 \).
2. Знаменатель второй дроби \( x^2y - y^3 \) можно разложить, вынеся \( y \) за скобки: \( y(x^2 - y^2) \). Дальше \( x^2 - y^2 \) раскладывается как разность квадратов: \( y(x - y)(x + y) \).
3. Теперь подставим разложенные множители в исходное выражение: $$ \frac{(x - y)^2}{2x^2y^2} \cdot \frac{x^2y^3}{y(x - y)(x + y)} $$
4. Сократим одинаковые множители: \( (x - y) \) в числителе и знаменателе, \( y \) в числителе и знаменателе.
5. Упрощённое выражение будет выглядеть так: $$ \frac{x - y}{2x^2y} \cdot \frac{x^2y^2}{(x + y)} = \frac{(x - y)x^2y^2}{2x^2y(x + y)} = \frac{(x - y)y}{2(x + y)} $$
6. Теперь подставим значения \( x = 2 \) и \( y = -1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \).
7. Вычислим \( x - y \): \( 2 - (-\frac{3}{2}) = 2 + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2} \).
8. Вычислим \( x + y \): \( 2 + (-\frac{3}{2}) = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \).
9. Подставим вычисленные значения в упрощённое выражение: $$ \frac{\frac{7}{2} \cdot (-\frac{3}{2})}{2(\frac{1}{2})} $$
10. Вычислим числитель: \( \frac{7}{2} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{21}{4} \).
11. Вычислим знаменатель: \( 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \).
12. Итоговое значение: $$ \frac{-\frac{21}{4}}{1} = -\frac{21}{4} $$
13. Переведём в десятичную дробь: \( -\frac{21}{4} = -5.25 \).

Ответ: -5.25