7*. Упростите выражение $$\frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}{x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{xy} + y^{\frac{2}{3}}} - \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2}}$$.

Прежде чем приступить к упрощению, вспомним формулы сокращенного умножения, а именно разложение суммы и разности кубов:

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$ $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$ $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$.

В нашем случае, пусть $$a = \sqrt[3]{x}$$ и $$b = \sqrt[3]{y}$$. Тогда, выражение можно переписать следующим образом:

$$\frac{a + b}{a^2 - ab + b^2} - \frac{a - b}{a^2 - b^2}$$.

Разложим знаменатель второй дроби, используя формулу разности квадратов:

$$\frac{a + b}{a^2 - ab + b^2} - \frac{a - b}{(a - b)(a + b)}$$.

Сократим вторую дробь на $$(a - b)$$, получим:

$$\frac{a + b}{a^2 - ab + b^2} - \frac{1}{a + b}$$.

Приведем дроби к общему знаменателю, для этого первую дробь умножим на $$(a+b)$$, а вторую на $$(a^2 - ab + b^2)$$:

$$\frac{(a + b)(a+b) - (a^2 - ab + b^2)}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}$$.

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + ab - b^2}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}$$.

Упростим числитель:

$$\frac{3ab}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}$$.

Теперь заметим, что знаменатель можно свернуть в сумму кубов:

$$\frac{3ab}{a^3 + b^3}$$.

Вернемся к нашим переменным $$x$$ и $$y$$, тогда:

$$\frac{3\sqrt[3]{xy}}{x + y}$$.

Выражение упрощено.