6. Упростите выражение \(\frac{5x+6}{x^2-4} - \frac{x}{x^2-4} : \frac{x}{x-2} - \frac{x+2}{x-2}\)

Сначала упростим выражение внутри скобок. Заметим, что x² - 4 = (x - 2)(x + 2). \(\frac{5x+6}{x^2-4} - \frac{x}{x^2-4} = \frac{5x + 6 - x}{x^2 - 4} = \frac{4x + 6}{x^2 - 4} = \frac{2(2x+3)}{(x-2)(x+2)}\) Теперь рассмотрим деление: \(\frac{x}{x^2-4} : \frac{x}{x-2} = \frac{x}{(x-2)(x+2)} * \frac{x-2}{x} = \frac{1}{x+2}\) И последнее вычитание: \(\frac{1}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} = \frac{(x-2) - (x+2)^2}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-2 - (x^2 + 4x + 4)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x - 2 - x^2 - 4x - 4}{(x+2)(x-2)} = \frac{-x^2 - 3x - 6}{(x+2)(x-2)}\) Теперь вернемся к изначальному выражению: \(\frac{2(2x+3)}{(x-2)(x+2)} : \frac{-x^2 - 3x - 6}{(x+2)(x-2)} = \frac{2(2x+3)}{(x-2)(x+2)} * \frac{(x+2)(x-2)}{-(x^2 + 3x + 6)} = \frac{2(2x+3)}{-(x^2 + 3x + 6)}\) Ответ: \(\frac{-4x-6}{x^2 + 3x + 6}\)