В единичном кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ найдите угол между $$AD$$ и $$A_1C$$ В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ все рёбра равны 1. Найдите угол между $$AC_1$$ и $$A_1B_1$$

В данном случае у нас две задачи. Решим их по очереди. Задача №4 В единичном кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ найти угол между $$AD$$ и $$A_1C$$. Определим векторы $$\vec{AD}$$ и $$\vec{A_1C}$$. $$\vec{AD} = (1, 0, 0)$$ $$\vec{A_1C} = \vec{A_1A} + \vec{AD} + \vec{DC} = -\vec{AA_1} + \vec{AD} + \vec{A_1B_1} = (-0, 0, 1) + (1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, -1)$$ Теперь найдём косинус угла между этими векторами: $$cos(\alpha) = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{A_1C}}{|\vec{AD}| \cdot |\vec{A_1C}|} = \frac{(1, 0, 0) \cdot (1, 1, -1)}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-1)}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Тогда угол $$\alpha$$ равен: $$\alpha = arccos(\frac{\sqrt{3}}{3})$$ Ответ: $$\arccos(\frac{\sqrt{3}}{3})$$ Задача №5 В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ все рёбра равны 1. Найти угол между $$AC_1$$ и $$A_1B_1$$. Введём систему координат. Пусть $$A=(0, 0, 0)$$, $$B=(1, 0, 0)$$, $$C=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$$, $$A_1=(0, 0, 1)$$, $$B_1=(1, 0, 1)$$, $$C_1=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$$. Тогда векторы будут равны: $$\vec{AC_1} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$$ $$\vec{A_1B_1} = (1, 0, 0)$$ Найдём косинус угла между ними: $$cos(\beta) = \frac{\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1B_1}}{|\vec{AC_1}| \cdot |\vec{A_1B_1}|} = \frac{(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1) \cdot (1, 0, 0)}{\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} \cdot 1} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$ Тогда угол $$\beta$$ равен: $$\beta = arccos(\frac{\sqrt{2}}{4})$$ Ответ: $$\arccos(\frac{\sqrt{2}}{4})$$