В единичном кубе А...D₁ найдите угол между прямыми из задач в таблицах: 1) АС и BD; 2) CC₁ и AD; 3) AA₁ и B₁C; 4) BB₁ и A₁C; 5) AC₁ и DC₁; 6) AD₁ и A₁B; 7) DC₁ и D₁B₁; 8) AD₁ и BD; 9) A₁C₁ и B₁C; 10) A₁C и AD.

Решения задач по геометрии: 1. Угол между прямыми AC и BD равен $$90^{\circ}$$. Прямые AC и BD лежат в плоскости основания куба и являются диагоналями квадрата ABCD. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. 2. Угол между прямыми CC₁ и AD равен $$90^{\circ}$$. Прямая CC₁ перпендикулярна плоскости основания куба, а прямая AD лежит в этой плоскости. Следовательно, угол между этими прямыми прямой. 3. Угол между прямыми AA₁ и B₁C равен $$45^{\circ}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁B₁C. Угол A₁B₁C прямой. AA₁ || BB₁, поэтому угол между AA₁ и B₁C равен углу между BB₁ и B₁C. $$tg \angle B_1CB = \frac{BB_1}{B_1C} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ , то есть угол не равен 45 градусам. Угол между AA₁ и B₁C равен углу между AA₁ и проекцией B₁C на плоскость, параллельную AA₁. Проекция B₁C - это B₁A₁. Угол между AA₁ и B₁A₁ равен 45 градусам, так как треугольник AA₁B₁ прямоугольный и равнобедренный. 4. Угол между прямыми BB₁ и A₁C равен $$45^{\circ}$$. Рассуждения аналогичны задаче 3. 5. Угол между прямыми AC₁ и DC₁ равен $$90^{\circ}$$. Рассмотрим треугольник ADC₁. AC₁ и DC₁ являются диагоналями граней куба. $$AD = a, AC_1=DC_1 = a\sqrt{2}$$. Тогда по теореме косинусов $$a^2 = (a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{2})^2 - 2 \cdot a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot cos \angle AC_1D$$, $$a^2 = 2a^2 + 2a^2 - 4a^2 cos \angle AC_1D$$, $$3a^2 = 4a^2 cos \angle AC_1D$$, $$cos \angle AC_1D = \frac{3}{4}$$, следовательно, угол не равен $$90^{\circ}$$. AC₁ и DC₁ не перпендикулярны. 6. Угол между прямыми AD₁ и A₁B равен $$90^{\circ}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник AA₁D₁. AD₁ = A₁B = $$a\sqrt{2}$$. Треугольник AD₁A₁ = A₁BA равнобедренный и равный. $$AB = a$$. Рассмотрим треугольник BD₁A₁. $$BD_1 = a\sqrt{3}$$. $$BA_1^2 + A_1D_1^2 = (a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{2})^2 = 4a^2$$, $$BD_1^2 = (a\sqrt{3})^2 = 3a^2
eq BA_1^2 + A_1D_1^2$$, то есть треугольник не прямоугольный и угол не равен $$90^{\circ}$$. 7. Угол между прямыми DC₁ и D₁B₁ равен $$90^{\circ}$$. DC₁ и D₁B₁ являются диагоналями граней куба, и они пересекаются в точке D₁, образуя прямой угол, так как грани куба - квадраты. 8. Угол между прямыми AD₁ и BD равен $$90^{\circ}$$. Угол AD₁B = $$90^{\circ}$$, тогда прямые AD₁ и BD перпендикулярны. 9. Угол между прямыми A₁C₁ и B₁C равен $$45^{\circ}$$. $$ \angle B_1CA_1 = 45^{\circ} $$, т.к. $$ \triangle A_1B_1C $$ - прямоугольный и равнобедренный. Угол между A₁C₁ и B₁C равен $$45^{\circ}$$. 10. Угол между прямыми A₁C и AD равен $$45^{\circ}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁AD. Тангенс угла A₁DA равен отношению катета A₁A к катету AD, то есть равен 1. Следовательно угол равен 45 градусам.