1. В прямоугольнике NMPF точка R является точкой пересечения диагоналей. ∠PRF = 106°. Найдите ∠MRP и ∠MNP. 2. В прямоугольнике PSTX точка К является точкой пересечения диагоналей. ∠PXS = 30°, SX = 12 см. Найдите углы и периметр треугольника PKS. 3. В прямоугольнике угол между диагоналями равен 60°, меньшая сторона равна 23 см. Чему равна диагональ прямоугольника? 2. Дан параллелограмм APSH, в котором В - точка пересечения диагоналей. Найдите периметр треугольника SBH, если АР = 26 см, AS = 80 см, РН = 36 см.

1. Так как NMPF прямоугольник, то все его углы прямые, а диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник MRF равнобедренный, MR = RF. ∠MRF = 180° - ∠PRF = 180° - 106° = 74° (смежные углы). ∠MFR = ∠FMR = (180° - ∠MRF) / 2 = (180° - 74°) / 2 = 106° / 2 = 53°. ∠MRP = 90° - ∠FMR = 90° - 53° = 37°. ∠MNP = 90°. 2. Так как PSTX прямоугольник, то все его углы прямые, а диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник PKS равнобедренный, PK = KS. ∠SPX = 90°. ∠PXS = 30° (дано). ∠KPS = ∠PXS = 30° (так как диагонали прямоугольника делят углы пополам). ∠PKS = 180° - (∠KPS + ∠PXS) = 180° - (30° + 30°) = 120°. В прямоугольном треугольнике SPX: SP = SX * tg(∠PXS) = 12 * tg(30°) = 12 * (1 / √3) = 4√3 см. PK = SX / 2 = 12 / 2 = 6 см. Периметр треугольника PKS: P = PK + KS + SP = 6 + 6 + 4√3 = 12 + 4√3 ≈ 18,93 см. 3. Пусть ABCD - данный прямоугольник, O - точка пересечения диагоналей, AC и BD - диагонали, AB < BC. Угол между диагоналями равен 60°, значит, ∠AOB = 60°. Треугольник AOB равнобедренный (AO = OB), следовательно, ∠OAB = ∠OBA = (180° - 60°) / 2 = 60°. Значит, треугольник AOB равносторонний, и AO = OB = AB = 23 см. Тогда AC = 2 * AO = 2 * 23 = 46 см. 4. В параллелограмме APSH точка B — точка пересечения диагоналей. Тогда AB = (1/2)PH = 18 см, SB = (1/2)AS = 40 см, BH = (1/2)AP = 13 см. Периметр треугольника SBH равен P = SB + BH + HS. Так как APSH — параллелограмм, то HS = AP = 26 см. Периметр треугольника SBH: P = 40 + 13 + 26 = 79 см.