1. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена биссектриса BD. Известно, что BC + AD = 27 см. Найдите периметр треугольника ABC. 2. На рисунке изображены два треугольника ABC и DBE (точки A, C, E, D лежат на одной прямой). Известно, что AC = DE, AB = BD. Докажите, что треугольники ABC и DBE равны. 3. Дан острый угол LKN. Точка P лежит между точками K и L, точка M – между точками K и N. Известно, что KL = KN и угол KLM равен углу KNP. Докажите, что треугольники KLM и KNP равны. Найдите сторону PN, если сторона ML = 20 см.

Пусть (AD = x), тогда (BC = 27 - x). Так как (AB = BC), то (AB = 27 - x).

Биссектриса BD делит угол B на два равных угла. Рассмотрим треугольник ABD. По свойству биссектрисы треугольника, (rac{AD}{CD} = rac{AB}{BC}). Так как (AB=BC), то (rac{AD}{CD} = 1), следовательно, (AD = CD).

Значит, (AC = AD + CD = 2AD = 2x). Поскольку (AB = BC), то (AB = BC = 27 - x).

Периметр треугольника ABC равен (P = AB + BC + AC = (27 - x) + (27 - x) + 2x = 54) см.

Периметр треугольника ABC равен 54 см.

Рассмотрим треугольники ABC и DBE.

• (AC = DE) (по условию)
• (AB = BD) (по условию)
• Угол A равен углу D, так как (angle BAC) и (angle BDE) – смежные с равными углами ((angle ABC = angle DBE), как углы при основании равнобедренного треугольника ABB).

Следовательно, треугольники ABC и DBE равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Рассмотрим треугольники KLM и KNP:

• (KL = KN) (по условию)
• (angle KLM = angle KNP) (по условию)
• ( angle LKN) - общий

Следовательно, треугольники KLM и KNP равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Так как треугольники KLM и KNP равны, то соответствующие стороны равны, значит, (PN = ML = 20) см.

Сторона PN равна 20 см.