В равнобедренной трапеции угол при основании равен 45°, а высота равна меньшему основанию. Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 24 см.

Обозначим равнобедренную трапецию как ABCD, где AD – большее основание, BC – меньшее основание, а углы при основании AD равны 45°. Пусть BH – высота, опущенная из вершины B на основание AD. 1. Так как угол при основании равен 45°, то треугольник ABH является прямоугольным и равнобедренным (угол ABH = 90° - 45° = 45°). Следовательно, AH = BH. 2. По условию, высота равна меньшему основанию, то есть BH = BC. 3. Пусть BC = x. Тогда AH = x. 4. Так как трапеция равнобедренная, то KD = AH = x, где CK – вторая высота, опущенная из вершины C на основание AD. 5. Большее основание AD = AH + HK + KD = x + x + x = 3x. По условию, AD = 24 см. Значит, 3x = 24, откуда x = 8 см. 6. Таким образом, BC = 8 см, BH = 8 см. 7. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH$$ 8. Подставляем известные значения: $$S = \frac{8 + 24}{2} \cdot 8 = \frac{32}{2} \cdot 8 = 16 \cdot 8 = 128$$. Ответ: 128 см²