В треугольниках АВС и $$A_1B_1C_1$$ AB = $$A_1B_1$$, AC = $$A_1C_1$$, $$\angle A = \angle A_1$$. На сторонах АВ и $$A_1B_1$$ отмечены точки Р и $$P_1$$ так, что АР = $$A_1P_1$$. Докажите, что ΔВРС = Δ$$B_1P_1C_1$$.

Чтобы доказать равенство треугольников ΔВРС и Δ$$B_1P_1C_1$$, рассмотрим треугольники ABC и $$A_1B_1C_1$$.

Из условия известно:

1. AB = $$A_1B_1$$
2. AC = $$A_1C_1$$
3. $$\angle A = \angle A_1$$

Следовательно, ΔABC = Δ$$A_1B_1C_1$$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что BC = $$B_1C_1$$ и $$\angle B = \angle B_1$$.

Также известно, что AP = $$A_1P_1$$. Тогда можно выразить BP и $$B_1P_1$$:

BP = AB - AP и $$B_1P_1$$ = $$A_1B_1$$ - $$A_1P_1$$.

Так как AB = $$A_1B_1$$ и AP = $$A_1P_1$$, то BP = $$B_1P_1$$.

Теперь рассмотрим треугольники ΔВРС и Δ$$B_1P_1C_1$$:

1. BC = $$B_1C_1$$ (доказано выше)
2. BP = $$B_1P_1$$ (доказано выше)
3. $$\angle B = \angle B_1$$ (доказано выше)

Следовательно, ΔВРС = Δ$$B_1P_1C_1$$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), что и требовалось доказать.