23. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен 90°, радиус вписанной окружности равен 6. Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(AB = 29\).

Пусть \(a\), \(b\) - катеты, \(c\) - гипотенуза. Тогда \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB = 29\). Площадь прямоугольного треугольника равна \(S = \frac{1}{2}ab\). Радиус вписанной окружности равен \(r = \frac{a + b - c}{2}\). По условию, \(r = 6\). Значит, \(6 = \frac{a + b - 29}{2}\), откуда \(a + b - 29 = 12\), и \(a + b = 41\). По теореме Пифагора, \(a^2 + b^2 = c^2\), то есть \(a^2 + b^2 = 29^2 = 841\). Имеем систему уравнений: \begin{cases} a + b = 41\\ a^2 + b^2 = 841 \end{cases} Из первого уравнения \(b = 41 - a\). Подставим во второе: \[a^2 + (41 - a)^2 = 841\] \[a^2 + 1681 - 82a + a^2 = 841\] \[2a^2 - 82a + 840 = 0\] \[a^2 - 41a + 420 = 0\] Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 41^2 - 4 \times 420 = 1681 - 1680 = 1\). Тогда \(a_1 = \frac{41 + 1}{2} = 21\), \(a_2 = \frac{41 - 1}{2} = 20\). Если \(a = 21\), то \(b = 41 - 21 = 20\). Если \(a = 20\), то \(b = 41 - 20 = 21\). Значит, катеты равны 20 и 21. Площадь треугольника \(S = \frac{1}{2} \times 20 \times 21 = 210\). Ответ: 210