1380 В треугольнике АВС: АС = 9 см, ВС = 12 см. Медианы АМ и BN взаимно перпендикулярны. Найдите АВ.

Обозначим точку пересечения медиан как O. Поскольку медианы взаимно перпендикулярны, треугольник AOB является прямоугольным.

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно:

$$ AO = \frac{2}{3}AM, \quad BO = \frac{2}{3}BN $$

Пусть (AO = 2x) и (BO = 2y), тогда (OM = x) и (ON = y). Следовательно, (AM = 3x) и (BN = 3y).

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику AOB:

$$ (2x)^2 + (2y)^2 = AB^2 \Rightarrow 4x^2 + 4y^2 = AB^2 $$

Так как AM и BN - медианы, мы можем воспользоваться свойством медиан, которое связывает их длины со сторонами треугольника:

$$ AM^2 = \frac{2AC^2 + 2AB^2 - BC^2}{4} \Rightarrow (3x)^2 = \frac{2(9^2) + 2AB^2 - 12^2}{4} $$ $$ BN^2 = \frac{2BC^2 + 2AB^2 - AC^2}{4} \Rightarrow (3y)^2 = \frac{2(12^2) + 2AB^2 - 9^2}{4} $$

Упростим уравнения:

$$ 9x^2 = \frac{2(81) + 2AB^2 - 144}{4} = \frac{162 + 2AB^2 - 144}{4} = \frac{18 + 2AB^2}{4} = \frac{9 + AB^2}{2} $$ $$ 9y^2 = \frac{2(144) + 2AB^2 - 81}{4} = \frac{288 + 2AB^2 - 81}{4} = \frac{207 + 2AB^2}{4} $$

Тогда:

$$ x^2 = \frac{9 + AB^2}{18}, \quad y^2 = \frac{207 + 2AB^2}{36} $$

Подставим (x^2) и (y^2) в уравнение (4x^2 + 4y^2 = AB^2):

$$ 4\left(\frac{9 + AB^2}{18}\right) + 4\left(\frac{207 + 2AB^2}{36}\right) = AB^2 $$ $$ \frac{2(9 + AB^2)}{9} + \frac{207 + 2AB^2}{9} = AB^2 $$ $$ \frac{18 + 2AB^2 + 207 + 2AB^2}{9} = AB^2 $$ $$ \frac{225 + 4AB^2}{9} = AB^2 $$

Умножим обе стороны на 9:

$$ 225 + 4AB^2 = 9AB^2 $$ $$ 225 = 5AB^2 $$ $$ AB^2 = 45 $$ $$ AB = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} $$

Итак, длина стороны AB равна:

$$ AB = 3\sqrt{5} $$

Ответ: (3\sqrt{5}) см.