В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Найдите градусную меру угла В, если ∠C= 25° и АК = СК.

Решение:

В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. По условию \( ∠ C = 25^° \) и \( AK = CK \).

Рассмотрим треугольник АКС. Так как \( AK = CK \), то треугольник АКС равнобедренный. Углы при основании равны:

\[ ∠ KAC = ∠ KCA = 25^° \]

Сумма углов в треугольнике АКС равна \( 180^° \). Найдем угол АКС:

\[ ∠ AKC = 180^° - (∠ KAC + ∠ KCA) = 180^° - (25^° + 25^°) = 180^° - 50^° = 130^° \]

Угол АКС и угол АКВ — смежные, их сумма равна \( 180^° \). Найдем угол АКВ:

\[ ∠ AKB = 180^° - ∠ AKC = 180^° - 130^° = 50^° \]

АК — биссектриса угла А. Это означает, что она делит угол А пополам: \( ∠ BAC = 2 ∠ KAC \). Так как \( ∠ KAC = 25^° \), то:

\[ ∠ BAC = 2 · 25^° = 50^° \]

Теперь рассмотрим треугольник АВС. Сумма углов в нем равна \( 180^° \). Мы знаем \( ∠ C = 25^° \) и \( ∠ BAC = 50^° \). Найдем угол В:

\[ ∠ B = 180^° - (∠ BAC + ∠ C) = 180^° - (50^° + 25^°) = 180^° - 75^° = 105^° \]

Ответ: 105°.