В треугольнике АВС сторона АС равна 12, АВ = ВС. Вписанная окружность ω касается стороны АВ в точке К. Отрезок СК пересекает ω в точке М. Известно, что длина отрезка МК равна 5. Найдите длину стороны ВС. Ответ округлите до сотых.

Для решения этой задачи нам потребуется использовать знания геометрии, в частности, свойства касательных к окружности и секущих.

Пусть ( BC = AB = x ). Так как вписанная окружность касается стороны ( AB ) в точке ( K ), то ( AK = p - AC ), где ( p ) – полупериметр треугольника ( ABC ). Полупериметр ( p = rac{AB + BC + AC}{2} = rac{x + x + 12}{2} = x + 6 ). Следовательно, ( AK = (x + 6) - 12 = x - 6 ).

Теперь рассмотрим секущую ( CK ). По свойству секущих, если из точки ( C ) провести секущую ( CM ) к окружности, пересекающую ее в точках ( M ) и ( K ), то ( CM cdot CK = CA^2 - R^2 ), где ( R ) – радиус вписанной окружности.

Известно, что ( MK = 5 ). Пусть ( CM = y ), тогда ( CK = y + 5 ).

Треугольник ( ABC ) – равнобедренный, и ( CK ) – биссектриса угла ( C ). По свойству биссектрисы, ( rac{AK}{BK} = rac{AC}{BC} ), где ( BK = AB - AK = x - (x - 6) = 6 ). Следовательно, ( rac{x - 6}{6} = rac{12}{x} ).

Решим уравнение: ( x(x - 6) = 12 cdot 6 ), то есть ( x^2 - 6x = 72 ), или ( x^2 - 6x - 72 = 0 ). Используем квадратное уравнение для нахождения ( x ):

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-72)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 288}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{6 \pm 18}{2}$$

Таким образом, ( x_1 = \frac{6 + 18}{2} = 12 ) и ( x_2 = \frac{6 - 18}{2} = -6 ). Так как длина не может быть отрицательной, ( x = 12 ).

Однако, нам также нужно учесть условие, что ( AK = x - 6 > 0 ), то есть ( x > 6 ). Значение ( x = 12 ) удовлетворяет этому условию.

Теперь найдем длину стороны ( BC ). Так как ( AB = BC = x ), то ( BC = 12 ).

Ответ: 12.00