В угол С величиной 52° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О - центр окружности. Найдите угол АОВ.

Решение:

Так как окружность вписана в угол \( \angle C \) и касается его сторон в точках \( A \) и \( B \), то \( CA = CB \) (отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности равны).

\( OA \) и \( OB \) — радиусы окружности, проведенные в точки касания. Следовательно, \( OA \perp CA \) и \( OB \perp CB \), поэтому \( \angle CAO = 90^{\circ} \) и \( \angle CBO = 90^{\circ} \).

Рассмотрим четырехугольник \( CAOB \). Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360°.

\( \angle AOB + \angle CAO + \angle CBO + \angle C = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 52^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 232^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 232^{\circ} = 128^{\circ} \).

Ответ: 128°.