В2. В треугольнике $$ABC$$ $$\angle A = 75\degree$$, $$\angle B = 30\degree$$, $$AB = 10$$ см. Найдите площадь треугольника. С1. Высоты, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма, составляют угол, равный $$45\degree$$. Одна из высот делит сторону, на которую она опущена, на отрезки 3 см и 7 см, считая от вершины острого угла. Найдите площадь параллелограмма.

Решаю задачи B2 и C1. B2. В треугольнике $$ABC$$ известны два угла и сторона. Найдем площадь треугольника. Шаг 1: Найдем третий угол треугольника $$C$$. Сумма углов треугольника равна $$180\degree$$, поэтому $$\angle C = 180\degree - \angle A - \angle B = 180\degree - 75\degree - 30\degree = 75\degree$$ Шаг 2: Заметим, что $$\angle A = \angle C = 75\degree$$, следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$BC$$. Значит, $$BC = AB = 10$$ см. Шаг 3: Найдем площадь треугольника $$ABC$$. Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)$$ Подставим известные значения: $$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin(30\degree)$$ Так как $$\sin(30\degree) = \frac{1}{2}$$, то $$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = \frac{100}{4} = 25 \text{ см}^2$$ Ответ: Площадь треугольника равна 25 см². C1. Даны высоты параллелограмма, проведенные из вершины тупого угла, угол между высотами $$45\degree$$. Одна из высот делит сторону, на которую она опущена, на отрезки 3 см и 7 см, считая от вершины острого угла. Найдем площадь параллелограмма. Шаг 1: Определим сторону, на которую опущена высота. По условию, высота делит сторону на отрезки 3 см и 7 см. Значит, длина этой стороны равна $$3 + 7 = 10$$ см. Шаг 2: Определим угол параллелограмма. Угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, равен $$45\degree$$. Тогда острый угол параллелограмма равен $$45\degree$$ (так как сумма углов между высотами и углов параллелограмма равна $$180\degree$$). Шаг 3: Найдем высоту, опущенную на сторону длиной 10 см. Пусть $$h$$ — высота, опущенная на сторону длиной 10 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $$h$$, стороной параллелограмма и отрезком длиной 3 см. Тогда: $$\sin(45\degree) = \frac{h}{b}$$, где $$b$$ - другая сторона параллелограмма. Значит, $$h = b \cdot \sin(45\degree)$$. Шаг 4: Найдем другую сторону параллелограмма. Площадь параллелограмма можно вычислить двумя способами: $$S = 10 \cdot h = a \cdot b \cdot \sin(45\degree)$$, где $$a$$ = 10 см. Выразим $$h$$ как $$b \cdot \sin(45\degree)$$. $$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$$, где $$\alpha$$ - угол между сторонами. Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется при опускании высоты на сторону параллелограмма, прилежащую к острому углу. В этом треугольнике гипотенуза - это сторона $$b$$, противолежащий катет - высота $$h$$, a $$\sin(45\degree) = \frac{h}{b}$$. Из этого следует, что $$h = 3 \cdot \sqrt{2}$$. Шаг 5: Найдем площадь параллелограмма. $$S = 10 \cdot h = 10 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 30 \sqrt{2} \text{ см}^2$$ Ответ: Площадь параллелограмма равна $$30 \sqrt{2}$$ см².