В8. Найти наименьшее целое значение параметра р, при котором график функции у = x² + px + q пересекает ось абсцисс в двух различных точках и касается прямой у = 2х - 6.

Задача: Найти наименьшее целое значение параметра p, при котором график функции y = x² + px + q пересекает ось абсцисс в двух различных точках и касается прямой y = 2x - 6.

Решение:

1. Условие пересечения оси абсцисс:

   График функции y = x² + px + q пересекает ось абсцисс (y = 0) в двух различных точках, если дискриминант квадратного уравнения x² + px + q = 0 строго больше нуля.

   D = p² - 4q > 0

2. Условие касания прямой:

   График функции касается прямой y = 2x - 6. Это означает, что система уравнений

   y = x² + px + q

   y = 2x - 6

   имеет ровно одно решение. Приравниваем правые части:

   x² + px + q = 2x - 6

   x² + (p - 2)x + (q + 6) = 0

   Для того чтобы это квадратное уравнение имело ровно одно решение, его дискриминант должен быть равен нулю:

   D₁ = (p - 2)² - 4(q + 6) = 0

   (p - 2)² = 4(q + 6)

   q + 6 = \(\frac{(p - 2)²}{4}\)

   q = \(\frac{(p - 2)²}{4}\) - 6

3. Подстановка и анализ:

   Теперь подставим найденное выражение для q в условие D > 0:

   p² - 4 \(\times\) \(\big\)(\(\frac{(p - 2)²}{4}\) - 6\(\big\)) > 0

   p² - ((p - 2)²) + 24 > 0

   p² - (p² - 4p + 4) + 24 > 0

   p² - p² + 4p - 4 + 24 > 0

   4p + 20 > 0

   4p > -20

   p > -5

4. Наименьшее целое значение:

   Мы получили условие p > -5. Наименьшее целое число, которое больше -5, это -4.

Ответ: -4