Вариант №4. 1. Найти область определения функции: а) y = \sqrt{2x-5x^2}; \sqrt{2x- x^2} б) y = \frac{7}{(x-3)^3} \frac{9}{(x+5)^3}. 2. Построить график функции y = (x + 1)^\frac{1}{3}. Найти ее область определения и множество значений. 3. Найти функцию, обратную к данной, ее область определения и множество значений: а) y = \sqrt[4]{x + 3}; б) y = 4 – 2x. 4. Решить уравнение: а) \sqrt{2x-4} = 3,4; б) \sqrt{x^2 + 3x- 4} = x + 2. 5*. Решить неравенство: \sqrt{x^2-x-2} > x - 1.

1. Найти область определения функции: а) Для функции $$y = \sqrt{2x-5x^2}$$, область определения находится из условия: $$2x - 5x^2 \geq 0$$ $$x(2 - 5x) \geq 0$$ $$x(5x - 2) \leq 0$$ Решаем методом интервалов. Нули функции: $$x = 0$$ и $$x = \frac{2}{5} = 0.4$$. Область определения: $$x \in [0; 0.4]$$ Для функции $$y = \sqrt{2x-x^2}$$, область определения находится из условия: $$2x - x^2 \geq 0$$ $$x(2 - x) \geq 0$$ $$x(x - 2) \leq 0$$ Решаем методом интервалов. Нули функции: $$x = 0$$ и $$x = 2$$. Область определения: $$x \in [0; 2]$$ б) Для функции $$y = \frac{7}{(x-3)^3}$$, область определения находится из условия: $$(x - 3)^3
eq 0$$ $$x
eq 3$$ Область определения: $$x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$$ Для функции $$y = \frac{9}{(x+5)^3}$$, область определения находится из условия: $$(x + 5)^3
eq 0$$ $$x
eq -5$$ Область определения: $$x \in (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$$ 2. Построить график функции y = (x + 1)^(1/3). Найти ее область определения и множество значений. Функция $$y = (x + 1)^{\frac{1}{3}}$$ является кубическим корнем из (x + 1). Область определения: так как кубический корень можно извлекать из любого числа, то область определения – все действительные числа: $$x \in (-\infty; +\infty)$$. Множество значений: также все действительные числа: $$y \in (-\infty; +\infty)$$. 3. Найти функцию, обратную к данной, ее область определения и множество значений: а) Дана функция $$y = \sqrt[4]{x + 3}$$. Чтобы найти обратную функцию, поменяем x и y местами: $$x = \sqrt[4]{y + 3}$$ Выразим y: $$x^4 = y + 3$$ $$y = x^4 - 3$$ Обратная функция: $$y = x^4 - 3$$. Область определения обратной функции: так как исходная функция $$y = \sqrt[4]{x + 3}$$ определена при $$x \geq -3$$, а ее значения $$y \geq 0$$, то область определения обратной функции $$x \geq 0$$. Множество значений обратной функции: $$y \geq -3$$. б) Дана функция $$y = 4 - 2x$$. Чтобы найти обратную функцию, поменяем x и y местами: $$x = 4 - 2y$$ Выразим y: $$2y = 4 - x$$ $$y = \frac{4 - x}{2} = 2 - \frac{x}{2}$$ Обратная функция: $$y = 2 - \frac{x}{2}$$. Область определения обратной функции: все действительные числа: $$x \in (-\infty; +\infty)$$. Множество значений обратной функции: все действительные числа: $$y \in (-\infty; +\infty)$$. 4. Решить уравнение: а) $$\sqrt{2x-4} = 3.4$$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$2x - 4 = (3.4)^2$$ $$2x - 4 = 11.56$$ $$2x = 15.56$$ $$x = 7.78$$ Проверка: $$\sqrt{2 \cdot 7.78 - 4} = \sqrt{15.56 - 4} = \sqrt{11.56} = 3.4$$ Ответ: $$x = 7.78$$ б) $$\sqrt{x^2 + 3x - 4} = x + 2$$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$x^2 + 3x - 4 = (x + 2)^2$$ $$x^2 + 3x - 4 = x^2 + 4x + 4$$ $$3x - 4 = 4x + 4$$ $$-x = 8$$ $$x = -8$$ Проверка: $$\sqrt{(-8)^2 + 3 \cdot (-8) - 4} = \sqrt{64 - 24 - 4} = \sqrt{36} = 6$$ $$-8 + 2 = -6$$ Так как $$6
eq -6$$, то корень $$x = -8$$ не является решением уравнения. Решений нет. 5*. Решить неравенство: $$\sqrt{x^2 - x - 2} > x - 1$$ Область определения: $$x^2 - x - 2 \geq 0$$. Разложим квадратный трехчлен на множители: $$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$$. Тогда $$(x - 2)(x + 1) \geq 0$$. Решаем методом интервалов. Нули: $$x = -1$$ и $$x = 2$$. Область определения: $$x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$$. Теперь рассмотрим два случая: 1) Если $$x - 1 < 0$$, то есть $$x < 1$$, то неравенство выполняется для всех x из области определения, удовлетворяющих условию $$x < 1$$. Это интервал $$x \in (-\infty; -1]$$. 2) Если $$x - 1 \geq 0$$, то есть $$x \geq 1$$, то возведем обе части неравенства в квадрат: $$x^2 - x - 2 > (x - 1)^2$$ $$x^2 - x - 2 > x^2 - 2x + 1$$ $$x > 3$$ Итак, $$x > 3$$. Объединяя оба случая, получаем решение: $$x \in (-\infty; -1] \cup (3; +\infty)$$