ВАРИАНТ 1 1. Вычислить угол между прямыми АВ и CD, если А (√3; 1; 0), B (0; 0; 2√2), C (0; 2; 0), D (√3; 1; 2√2). 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 2, BC = 6, BB1 = 4. Точка М – середина AD. Найти ∠ MB₁С.

1. Вычисление угла между прямыми AB и CD

Для нахождения угла между прямыми, заданными координатами точек, можно использовать формулу:

$$cos\varphi = \frac{|a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$$

где $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ - направляющие векторы прямых AB и CD соответственно.

Найдем координаты векторов $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CD}$$:

$$\vec{AB} = (0 - \sqrt{3}; 0 - 1; 2\sqrt{2} - 0) = (-\sqrt{3}; -1; 2\sqrt{2})$$ $$\vec{CD} = (\sqrt{3} - 0; 1 - 2; 2\sqrt{2} - 0) = (\sqrt{3}; -1; 2\sqrt{2})$$

Теперь найдем косинус угла между этими векторами:

$$cos\varphi = \frac{|(-\sqrt{3})\cdot(\sqrt{3}) + (-1)\cdot(-1) + (2\sqrt{2})\cdot(2\sqrt{2})|}{\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (2\sqrt{2})^2} \cdot \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (2\sqrt{2})^2}}$$ $$cos\varphi = \frac{|-3 + 1 + 8|}{\sqrt{3 + 1 + 8} \cdot \sqrt{3 + 1 + 8}} = \frac{|6|}{\sqrt{12} \cdot \sqrt{12}} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Следовательно, угол $$\varphi$$ равен:

$$\varphi = arccos(\frac{1}{2}) = 60\text{\deg}$$

Ответ: Угол между прямыми AB и CD равен 60°.

2. Нахождение угла ∠ MB₁C

В прямоугольном параллелепипеде $$\text{ABCD}A_1B_1C_1D_1$$ дано: $$AB = 2$$, $$BC = 6$$, $$BB_1 = 4$$. Точка M – середина AD. Нужно найти $$\angle MB_1C$$.

Введем систему координат с началом в точке A, осью x вдоль AB, осью y вдоль AD и осью z вдоль AA1. Тогда координаты точек будут следующими:

$$A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(2; 6; 0), D(0; 6; 0), B_1(2; 0; 4), M(0; 3; 0)$$

Найдем векторы $$\vec{MB_1}$$ и $$\vec{CB_1}$$:

$$\vec{MB_1} = (2 - 0; 0 - 3; 4 - 0) = (2; -3; 4)$$ $$\vec{CB_1} = (2 - 2; 0 - 6; 4 - 0) = (0; -6; 4)$$

Теперь найдем косинус угла между этими векторами:

$$cos\angle MB_1C = \frac{\vec{MB_1} \cdot \vec{CB_1}}{|\vec{MB_1}| \cdot |\vec{CB_1}|} = \frac{(2)(0) + (-3)(-6) + (4)(4)}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} \cdot \sqrt{0^2 + (-6)^2 + 4^2}}$$ $$cos\angle MB_1C = \frac{0 + 18 + 16}{\sqrt{4 + 9 + 16} \cdot \sqrt{0 + 36 + 16}} = \frac{34}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{52}}$$ $$cos\angle MB_1C = \frac{34}{\sqrt{1508}} = \frac{34}{2\sqrt{377}} = \frac{17}{\sqrt{377}}$$

Тогда угол $$\angle MB_1C$$ равен:

$$\angle MB_1C = arccos(\frac{17}{\sqrt{377}}) \approx 29.1\text{\deg}$$

Ответ: $$\angle MB_1C \approx$$ 29.1°.