Вариант 4 1. Разложите на множители: a) 4x² – (3z – 2y)² б) x⁴ – 2b²x² + b⁴ в) –9c² + 12cd² – 4d⁴ г) 49(2m – 3n)² – 9(m + n)² 2. Решите уравнение (2x + 1)² – 3(x – 5)² = (x + 3)(x – 3). 3. Вычислите \( \frac{106^2 - 121}{122^2 - 64} \).

Решение:

1. а) Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \):
   \( 4x^2 - (3z - 2y)^2 = (2x)^2 - (3z - 2y)^2 = (2x - (3z - 2y))(2x + (3z - 2y)) = (2x - 3z + 2y)(2x + 3z - 2y) \)
2. б) Это квадрат разности \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):
   \( x^4 - 2b^2x^2 + b^4 = (x^2)^2 - 2(x^2)(b^2) + (b^2)^2 = (x^2 - b^2)^2 = ((x - b)(x + b))^2 = (x - b)^2 (x + b)^2 \)
3. в) Вынесем минус и применим формулу квадрата разности:
   \( -9c^2 + 12cd^2 - 4d^4 = -(9c^2 - 12cd^2 + 4d^4) = -((3c)^2 - 2(3c)(2d^2) + (2d^2)^2) = -(3c - 2d^2)^2 \)
4. г) Используем формулу разности квадратов:
   \( 49(2m - 3n)^2 - 9(m + n)^2 = (7(2m - 3n))^2 - (3(m + n))^2 = \)
   \( (14m - 21n)^2 - (3m + 3n)^2 = \)
   \( (14m - 21n - (3m + 3n))(14m - 21n + (3m + 3n)) = \)
   \( (14m - 21n - 3m - 3n)(14m - 21n + 3m + 3n) = \)
   \( (11m - 24n)(17m - 18n) \)
5. 2. \( (2x + 1)^2 - 3(x - 5)^2 = (x + 3)(x - 3) \)
   \( (4x^2 + 4x + 1) - 3(x^2 - 10x + 25) = x^2 - 9 \)
   \( 4x^2 + 4x + 1 - 3x^2 + 30x - 75 = x^2 - 9 \)
   \( x^2 + 34x - 74 = x^2 - 9 \)
   \( 34x = 74 - 9 \)
   \( 34x = 65 \)
   \( x = \frac{65}{34} \)
6. 3. Используем формулы разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \):
   \( \frac{106^2 - 121}{122^2 - 64} = \frac{106^2 - 11^2}{122^2 - 8^2} = \frac{(106 - 11)(106 + 11)}{(122 - 8)(122 + 8)} = \frac{95  117}{114  130} \)
   Сократим дроби: \( 95 = 5  19 \), \( 117 = 9  13 \), \( 114 = 2  3  19 \), \( 130 = 10  13 \)
   \( \frac{(5  19)  (9  13)}{(2  3  19)  (10  13)} = \frac{5  9}{2  3  10} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} \)

Ответ: 1. а) (2x - 3z + 2y)(2x + 3z - 2y); б) (x - b)²(x + b)²; в) -(3c - 2d²)²; г) (11m - 24n)(17m - 18n). 2. x = \(\frac{65}{34}\). 3. \(\frac{3}{4}\).