Вариант І. 1. Сократите дроби: $$\frac{27}{36}; \frac{50}{75}; \frac{112}{80}$$. 2. Сравните дроби: а) $$\frac{5}{14}$$ и $$\frac{8}{21}$$; б) $$\frac{31}{88}$$ и $$\frac{25}{66}$$. 3. Выполните действия: а) $$\frac{13}{18} + \frac{7}{12}$$; б) $$\frac{5}{7} - \frac{3}{5}$$; в) $$\frac{5}{6} \div \frac{8}{12}$$. 4. В первые сутки поезд прошел $$\frac{3}{8}$$ всего пути, во вторые сутки — на $$\frac{1}{6}$$ пути меньше, чем в первые. Какую часть всего пути поезд прошел за эти двое суток? 5. Найдите две дроби, каждая из которых больше $$\frac{7}{9}$$ и меньше $$\frac{8}{9}$$.

1. Сократите дроби: * $$\frac{27}{36} = \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{3}{4}$$ * $$\frac{50}{75} = \frac{2 \cdot 25}{3 \cdot 25} = \frac{2}{3}$$ * $$\frac{112}{80} = \frac{14 \cdot 8}{10 \cdot 8} = \frac{14}{10} = \frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$$ 2. Сравните дроби: * а) $$\frac{5}{14}$$ и $$\frac{8}{21}$$. Приведем к общему знаменателю 42: $$\frac{5}{14} = \frac{5 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{15}{42}$$, $$\frac{8}{21} = \frac{8 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{16}{42}$$. Так как $$\frac{15}{42} < \frac{16}{42}$$, то $$\frac{5}{14} < \frac{8}{21}$$. * б) $$\frac{31}{88}$$ и $$\frac{25}{66}$$. Приведем к общему знаменателю 264: $$\frac{31}{88} = \frac{31 \cdot 3}{88 \cdot 3} = \frac{93}{264}$$, $$\frac{25}{66} = \frac{25 \cdot 4}{66 \cdot 4} = \frac{100}{264}$$. Так как $$\frac{93}{264} < \frac{100}{264}$$, то $$\frac{31}{88} < \frac{25}{66}$$. 3. Выполните действия: * а) $$\frac{13}{18} + \frac{7}{12}$$. Приведем к общему знаменателю 36: $$\frac{13}{18} = \frac{13 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{26}{36}$$, $$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$$. Тогда $$\frac{26}{36} + \frac{21}{36} = \frac{47}{36} = 1\frac{11}{36}$$. * б) $$\frac{5}{7} - \frac{3}{5}$$. Приведем к общему знаменателю 35: $$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{25}{35}$$, $$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}$$. Тогда $$\frac{25}{35} - \frac{21}{35} = \frac{4}{35}$$. * в) $$\frac{5}{6} \div \frac{8}{12}$$. Деление дробей заменяем умножением на перевернутую дробь: $$\frac{5}{6} \cdot \frac{12}{8} = \frac{5 \cdot 12}{6 \cdot 8} = \frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$$. 4. В первые сутки поезд прошел $$\frac{3}{8}$$ всего пути, во вторые сутки — на $$\frac{1}{6}$$ пути меньше, чем в первые. Какую часть всего пути поезд прошел за эти двое суток? Во вторые сутки поезд прошел $$\frac{3}{8} - \frac{1}{6}$$ всего пути. Приведем дроби к общему знаменателю 24: $$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$$, $$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24}$$. Значит, во вторые сутки поезд прошел $$\frac{9}{24} - \frac{4}{24} = \frac{5}{24}$$ всего пути. За двое суток поезд прошел $$\frac{3}{8} + \frac{5}{24}$$ всего пути. Приведем дроби к общему знаменателю 24: $$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$$. Тогда за двое суток поезд прошел $$\frac{9}{24} + \frac{5}{24} = \frac{14}{24} = \frac{7}{12}$$ всего пути. 5. Найдите две дроби, каждая из которых больше $$\frac{7}{9}$$ и меньше $$\frac{8}{9}$$. Чтобы найти дроби между $$\frac{7}{9}$$ и $$\frac{8}{9}$$, приведем их к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число. Например, умножим на 3: $$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{21}{27}$$, $$\frac{8}{9} = \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{24}{27}$$. Теперь очевидно, что между этими дробями есть две дроби: $$\frac{22}{27}$$ и $$\frac{23}{27}$$. Ответ: * 1. $$\frac{3}{4}; \frac{2}{3}; 1\frac{2}{5}$$ * 2. а) $$\frac{5}{14} < \frac{8}{21}$$; б) $$\frac{31}{88} < \frac{25}{66}$$ * 3. а) $$1\frac{11}{36}$$; б) $$\frac{4}{35}$$; в) $$1\frac{1}{4}$$ * 4. $$\frac{\bf{7}}{\bf{12}}$$ всего пути * 5. $$\frac{\bf{22}}{\bf{27}}$$ и $$\frac{\bf{23}}{\bf{27}}$$