Вариант III, Задача 4*. Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого внешнего угла. Найдите разность между этими внешними углами, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 45°.

Решение: 1. Пусть два внешних угла равны x и 2x. Внутренний угол, не смежный с ними, равен 45°. Обозначим внутренние углы, смежные с внешними углами x и 2x, как α и β, соответственно. 2. Тогда: x = 180° - α, 2x = 180° - β 3. Сумма внутренних углов в треугольнике равна 180°: 45° + α + β = 180° α + β = 135° 4. Выразим α и β через x: α = 180° - x, β = 180° - 2x 5. Подставим в уравнение: (180° - x) + (180° - 2x) = 135° 360° - 3x = 135° 3x = 225° x = 75° 6. Найдем внешние углы: x = 75°, 2x = 150°. 7. Разность между этими внешними углами: 150° - 75° = 75° Ответ: 75°