Вариант І Вычислить (1-8). 1.2 125. 2. 20,0001. 4.333 3-8 5.48.4. 8 3/625 7.4 8.55 5610 35 1-6 3.2-32. 6.5/9.24. 15 Найти числовое значение выражения (9-12). 9. 530,000001·√√256. 10. 5 (33.3/22 )6 : √36 . 11.5 (4-3/10 + 3/25)(√2 + √5). 12. 6/4-3/3716+43/37 + √372 . При каких значениях х имеет смысл выражение (13-16)? 13. 3x-3. 15.4x23x-4. 14.3x+2. x 3 16.5 2-x 18. 5 y²y. 20.4(x-5)4. Упростить выражение (17-20). 17. 5 y³.y8. 19.45(2 + x)5.

1. $$ \sqrt[3]{125} = 5 $$, так как $$5^3 = 125$$.

2. $$ \sqrt[4]{0{,}0001} = 0{,}1 $$, так как $$(0{,}1)^4 = 0{,}0001$$.

3. $$ \sqrt[5]{-32} = -2 $$, так как $$(-2)^5 = -32$$.

4. $$ \sqrt[3]{3 \frac{3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} = 1{,}5 $$, так как $$(\frac{3}{2})^3 = \frac{27}{8}$$.

5. $$ \sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{8 \cdot 4} = \sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{16 \cdot 2} = 2\sqrt[4]{2} $$.

6. $$ \sqrt[5]{9 \cdot 24} = \sqrt[5]{3^2 \cdot 2^3 \cdot 3} = \sqrt[5]{3^3 \cdot 2^3} = \sqrt[5]{27 \cdot 8} = \sqrt[5]{216} $$.

7. $$ \frac{\sqrt[3]{625}}{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{\frac{625}{5}} = \sqrt[3]{125} = 5 $$.

8. $$ \sqrt[5]{6^{10} \cdot (\frac{1}{6})^{15}} = \sqrt[5]{6^{10} \cdot 6^{-15}} = \sqrt[5]{6^{-5}} = \frac{1}{6} $$.

9. $$ 5 \cdot \sqrt[3]{0{,}000001} \cdot \sqrt{256} = 5 \cdot 0{,}01 \cdot 16 = 5 \cdot \frac{1}{100} \cdot 16 = \frac{1}{20} \cdot 16 = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0{,}8 $$.

10. $$ 5 \cdot (\sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{2^2})^6 : \sqrt{3^6} = 5 \cdot (3 \cdot \sqrt[3]{4})^6 : 3^3 = 5 \cdot 3^6 \cdot (\sqrt[3]{4})^6 : 27 = 5 \cdot 729 \cdot 4^2 : 27 = 5 \cdot 729 \cdot 16 : 27 = 5 \cdot 27 \cdot 16 = 2160 $$.

11. $$ 5 \cdot (\sqrt{4} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25})(\sqrt{2} + \sqrt{5}) = 5 \cdot (2 - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25})(\sqrt{2} + \sqrt{5}) $$.

12. $$ 6 \cdot (\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{37}) \cdot (16 + 4\sqrt[3]{37} + \sqrt[3]{37^2}) = 6 \cdot (\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{37}) \cdot (\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{4 \cdot 37} + \sqrt[3]{37^2}) = 6 \cdot ((\sqrt[3]{4})^3 - (\sqrt[3]{37})^3) = 6 \cdot (4 - 37) = 6 \cdot (-33) = -198 $$.

13. Выражение $$ \sqrt[3]{x - 3} $$ имеет смысл при любых значениях x, так как корень третьей степени может быть из любого числа. Ответ: $$ x \in \mathbb{R} $$.

14. Выражение $$ \sqrt[6]{x + 2} $$ имеет смысл при $$ x + 2 \geq 0 $$, то есть $$ x \geq -2 $$. Ответ: $$ x \geq -2 $$.

15. Выражение $$ \sqrt[4]{x^2 - 3x - 4} $$ имеет смысл при $$ x^2 - 3x - 4 \geq 0 $$. Решим квадратное уравнение $$ x^2 - 3x - 4 = 0 $$. Дискриминант: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 $$. Корни: $$ x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 $$, $$ x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1 $$. Так как коэффициент при $$ x^2 $$ положителен, парабола направлена вверх. Следовательно, неравенство выполняется при $$ x \leq -1 $$ или $$ x \geq 4 $$. Ответ: $$ x \leq -1 $$ или $$ x \geq 4 $$.

16. Выражение $$ \sqrt[8]{\frac{x - 3}{2 - x}} $$ имеет смысл, если $$ \frac{x - 3}{2 - x} \geq 0 $$. Решим методом интервалов. Нули числителя: $$ x = 3 $$. Нули знаменателя: $$ x = 2 $$. Расставим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах: $$ (-\infty; 2) $$, $$ (2; 3) $$, $$ (3; +\infty) $$. При $$ x = 0 $$, выражение $$ \frac{x - 3}{2 - x} = \frac{-3}{2} < 0 $$. При $$ x = 2{,}5 $$, выражение $$ \frac{x - 3}{2 - x} = \frac{-0{,}5}{-0{,}5} = 1 > 0 $$. При $$ x = 4 $$, выражение $$ \frac{x - 3}{2 - x} = \frac{1}{-2} < 0 $$. Следовательно, решением является интервал $$ (2; 3] $$. Ответ: $$ 2 < x \leq 3 $$.

17. $$ \sqrt[5]{y^3} \cdot \sqrt[4]{y^8} = y^{\frac{3}{5}} \cdot y^{\frac{8}{4}} = y^{\frac{3}{5}} \cdot y^2 = y^{\frac{3}{5} + 2} = y^{\frac{13}{5}} $$.

18. $$ \sqrt[4]{y^2} \cdot \sqrt[3]{y^6} = y^{\frac{2}{4}} \cdot y^{\frac{6}{3}} = y^{\frac{1}{2}} \cdot y^2 = y^{\frac{1}{2} + 2} = y^{\frac{5}{2}} $$.

19. $$ \sqrt[4]{5(2 + x)^5} $$.

20. $$ \sqrt[4]{(x - 5)^4} = |x - 5| $$.